Berechnungen bei einem geraden Parabelsegment. Dies ist eine Figur, welche von einer Parabel der Form y=sx² im Intervall x ∈ [ -a ; a ] und der schließenden Geraden gebildet wird. Geben Sie den Formparameter s (s>0, Normalparabel s=1) und den maximalen Eingabewert a (entspricht dem Radius) ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
h = s * a²
l = a * √ 1 + 4s²a² + ln( 2sa + √ 1 + 4s²a² ) / (2s)
u = l + 2a
A = 4/3 * s * a³
ln ist der logarithmus naturalis (natürlicher Logarithmus).
Der Formparameter ist einheitenlos, Radius a, Höhe, Parabelbogenlänge und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Obwohl für die Berechnung des Flächeninhaltes der Wert des Radiuses hoch 3 genommen wird, ist die Einheit hoch 2. Grund ist, dass die Parabelfunktion zwar die Länge quadriert, nicht aber die Einheit.
Die Formel für die Flächenberechnung ergibt sich folgendermaßen: das Rechteck, in welchem das Parabelsegment liegt hat die Fläche 2*a*h, also 2*s*a³. Von diesem wird das Integral von s*a², also s/3*a³ zwei mal subtrahiert, um die Fläche unter der Parabel links und rechts abzuziehen. Also 2*s*a³ - 2/3*s*a³ = 4/3*s*a³
Auch die Berechnung der Länge des Parabelbogens erfolgt mittels Integralen, diese ist aber um einiges komplizierter.
Ein Parabelsegment entsteht als Schnittfläche, wenn ein Kegel schräg über die Mitte hinweg bis zum Boden durchgeschnitten wird. Andere Kegelschnitte sind Kreis, Ellipse und Hyperbel. Wenn man senkrecht durchschneidet erhält man ein gleichschenkliges Dreieck.
Von der führenden spätantiken griechischen Mathematikerin Hypatia von Alexandria ist bekannt, dass sie über die Kegelschnitte gearbeitet hat. Sie hat zumindest einen Kommentar zu den Werken von Apollonios von Perge darüber verfasst. Allerdings wurde die heidnische Neuplatonikerin im Jahr 415 oder 416 von einem christlichen Mob ermordet, ihre Schriften gingen in der Folge verloren.