Allgemeiner Tetraeder - Rechner

Name: Allgemeiner Tetraeder - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen bei einem allgemeinen Tetraeder. Ein Tetraeder ist ein Polyeder aus vier dreieckigen Flächen. Meist ist mit der Bezeichnung Tetraeder ein regelmäßiges Tetraeder gemeint, hier kann jedoch der allgemeine Tetraeder mit verschiedenen Seitenlängen berechnet werden. Dessen Seitenflächen sind die Dreiecke (a, b, c), (a, b', c'), (a', b, c') und (a', b', c). Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders stammt von Leonhard Euler.
Geben Sie die sechs Seitenlängen ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. In jedem Dreieck müssen je zwei Seiten zusammen länger als die dritte Seite sein.

Formeln:

Umfang der Dreiecke:

u = a + b + c

v = a + b' + c'

w = a' + b + c'

x = a' + b' + c

A = \sqrt{\frac{u}{2} \cdot (\frac{u}{2} - a) \cdot (\frac{u}{2} - b) \cdot (\frac{u}{2} - c)} + \sqrt{\frac{v}{2} \cdot (\frac{v}{2} - a) \cdot (\frac{v}{2} - b') \cdot (\frac{v}{2} - c')} + \sqrt{\frac{w}{2} \cdot (\frac{w}{2} - a') \cdot (\frac{w}{2} - b) \cdot (\frac{w}{2} - c')} + \sqrt{\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2} - a') \cdot (\frac{x}{2} - b') \cdot (\frac{x}{2} - c)}

fa = b^{2} + {b'}^{2} + c^{2} + {c'}^{2} - a^{2} - {a'}^{2}

fb = a^{2} + {a'}^{2} + c^{2} + {c'}^{2} - b^{2} - {b'}^{2}

fc = a^{2} + {a'}^{2} + b^{2} + {b'}^{2} - c^{2} - {c'}^{2}

δ = a^{2} \cdot b^{2} \cdot c^{2} + a^{2} \cdot {b'}^{2} \cdot {c'}^{2} + {a'}^{2} \cdot b^{2} \cdot {c'}^{2} + {a'}^{2} \cdot {b'}^{2} \cdot c^{2}

V = \frac{\sqrt{a^{2} \cdot {a'}^{2} \cdot fa + b^{2} \cdot {b'}^{2} \cdot fb + c^{2} \cdot {c'}^{2} \cdot fc - δ}}{12}

Die Längen haben eine eindimensionale Einheit (beispielsweise Meter), die Oberfläche hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter). Das Verhältnis A/V hat diese Einheit ^-1.

Das Wort Tetraeder kommt aus dem Altgriechischen und bedeutet Vierflächner. Tetraeder sind die einfachsten Polyeder und Polyeder übersetzt bedeutet Vielflächner. Der eine Buchstabe Unterschied ist wichtig. Auch wenn in den allermeisten Fällen der regelmäßige Tetraeder gemeint ist, welches der einfachste platonische Körper ist, ist natürlich auch der allgemeine Tetraeder anzutreffen. Dessen Berechnung ist allerdings sehr kompliziert.
Neben dem regelmäßigen gibt es noch weitere Sonderfälle des allgemeinen Tetraeders. Zum einen ist dort die regelmäßige Dreieckspyramide mit drei gleichen Seiten, welches gleichschenklige Dreiecke sind und einem gleichseitigen Dreieck als Basis. Dann gibt es noch die Ecke eines Quaders mit drei rechten Winkeln an einer Ecke, also drei verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken. Zu guter Letzt ist das Disphenoid ein Tetraeder mit vier gleichen, aber nicht regelmäßigen Dreiecken als Seiten.

Zuletzt aktualisiert am 29.03.2026. Autor: Jürgen Kummer

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