Berechnungen mit Hypozykloiden. Eine Hypozykloide ist die Kurve, die ein Punkt auf einem kleinen Kreis, welcher in einem großen Kreis abrollt, erzeugt. Der Radius des großen muss in einem ganzzahligen Verhältnis zu dem des kleinen Kreises stehen. Dieses Verhältnis bestimmt die Anzahl der Spitzen. Eine Hypozykloide mit vier Spitzen ist die Astroide.
Geben Sie bei Radien und Anzahl der Spitzen zwei Werte ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. n muss eine ganze Zahl >2 sein.
Erzeugung einer Hypozykloide.
Formeln:
n = a / b
l = 2 * a * sin (π/n)
u = 8 * a * ( n - 1 ) / n
A = π * a² * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) / n²
Kreiszahl pi:
π = 3.141592653589793...
Radien, Länge und Umfang haben eine eindimensionale Einheit (beispielsweise Meter), die Flächen haben diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Die Hypozykloide hat konvexe Spitzen und konkave Bögen. Wenn der kleinere Kreis nicht innen im großen Kreis, sondern außen auf diesem abrollt, dann entsteht eine Epizykloide, bei welcher die Bögen nicht nach innen, sondern nach außen gerichtet sind, die also konkave Spitzen und konvexe Bögen hat.
Es gibt eine Epizykloide mit n=2, aber keine solche Hypozykloide.
Die Symmetrieeigenschaften von Hypozykloide und Epizykloide sind die gleichen. Die Hypozykloide ist ebenfalls achsensymmetrisch zu einer Anzahl von Achsen, welche der Anzahl der Bögen n entspricht. Bei einer geraden Anzahl n gibt es zwei verschiedene Arten von Symmetrieachsen, jene mittig durch zwei gegenüber liegende Bögen und jene durch zwei gegenüber liegende nach außen zeigende Spitzen. Bei einer ungeraden Anzahl n gibt es nur eine Art von Symmetrieachse, welche jeweils mittig durch einen Bogen und durch die genau gegenüberliegende Spitze verläuft. Sie ist weiterhin drehsymmetrisch um diesen Punkt bei einem Winkel von 360°/n und Vielfachen davon. Die Hypozykloide mit geradem n ist außerdem zu dem Schnittpunkt der Symmetrieachsen punktsymmetrisch.
