Pentakisdodekaeder - Rechner

Name: Pentakisdodekaeder - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen bei einem Pentakisdodekaeder, dem dualen Körper zum Ikosaederstumpf. Das Pentakisdodekaeder ist ein Polyeder mit gleichschenkligen Dreiecken mit Basis a und Schenkel b als Seitenflächen, von denen jeweils 5 als Pyramide auf jede Seite eines Dodekaeders mit Kantenlänge a aufgesetzt werden.
Geben Sie einen Wert ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.

Formeln:

b = \frac{3}{38} \cdot (9 + \sqrt{5}) \cdot a

A = \frac{15}{19} \cdot a^{2} \cdot \sqrt{413 + 162 \sqrt{5}}

V = \frac{15}{76} \cdot a^{3} \cdot (23 + 11 \sqrt{5})

r_{K} = \frac{a}{4} \cdot (3 + \sqrt{5})

r_{I} = \frac{3}{2} \cdot a \cdot \sqrt{\frac{81 + 35 \sqrt{5}}{218}}

\frac{A}{V} = \frac{\frac{76}{19} \cdot \sqrt{413 + 162 \sqrt{5}}}{a \cdot \sqrt{23 + 11 \sqrt{5}}}

Das Pentakisdodekaeder ist ein Catalanischer Körper. Kantenlängen und Radien haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), die Oberfläche hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter), der Rauminhalt hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter). Das Verhältnis A/V hat diese Einheit ^-1.

Pentakis bedeutet fünf Mal, dodeka ist zwölf und eder bezeichnet die Seiten, Pentakisdodekaeder ist also der altgriechische Name für diesen Körper mit fünf mal zwölf Seiten. Diese sechzig Seiten sind gleichschenklige Dreiecke, bei denen die Basis länger ist als einer der beiden Schenkel. Der Winkel an deren Spitze ist 68,62 Grad, an der Basis 55,69 Grad.
Das Pentakisdodekaeder hat zwanzig Ecken mit sechs anliegenden Flächen und zwölf Ecken mit fünf anliegenden Flächen. Die zwölf fünfseitigen Ecken entstehen aus den Seiten des ursprünglichen Dodekaeders, auf welche die regelmäßigen Fünfeckspyramiden aufgesetzt wurden. Die zwanzig sechsseitigen Ecken sind die ursprünglichen Ecken des Dodekaeders.
Eine weitere Form mit 60 Seiten ist der Catalanische Körper Triakisikosaeder, dessen Name entsprechend seiner Ecken und Seiten drei mal zwanzig bedeutet.

Diese Form wird als Modell für manche Phänomene in der Natur verwendet. Sein dualer Körper, der Ikosaederstumpf, ist die Form des Buckminster-Fulleren-Moleküls C₆₀, wenn die Ecken die Kohlenstoffatome darstellen. Wenn die Atome dagegen an den Seitenflächen platziert werden, dann hat das Molekül die Form des Pentakisdodekaeders. Auch weisen manche Adeno-assoziierte Viren eine derartige Struktur auf, etwa AAV2.

Zuletzt aktualisiert am 28.05.2026. Autor: Jürgen Kummer

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