Möndchen - Rechner

Name: Möndchen - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen mit Möndchen, diese werden auch mit dem lateinischen Begriff Lune bezeichnet. Es entstehen zwei Möndchen, wenn ein Kreis einen anderen teilweise überdeckt. Dabei können die Kreise unterschiedlich groß sein. Neben den beiden Möndchen entsteht eine Schnittmenge aus zwei Kreissegmenten. Auch die Vereinigungsmenge kann als eine Form gesehen werden, welche sich aus den drei vorigen zusammen ergibt.
Geben Sie die Radien der Kreise und den Abstand ihrer beiden Mittelpunkte ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. Der Abstand muss zwischen Differenz und Summe der beiden Radien liegen. Die Formen werden in eine Grafik gezeichnet.

Form der Möndchen:

Formeln:

Δ = \frac{\sqrt{(a + b + c) \cdot (b + c - a) \cdot (c + a - b) \cdot (a + b - c)}}{4}

A_{1} = 2 Δ + a^{2} \cdot \arccos (\frac{b^{2} - a^{2} - c^{2}}{2 a c}) - b^{2} \cdot \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})

Quelle: Weisstein, Eric W. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Lune.html

A_{s} = π a^{2} - A_{1}

A_{2} = π b^{2} - A_{s}

A = A_{1} + A_{s} + A_{2}

Kreiszahl pi:

π = 3.141592653589793...

Radien und Abstand haben eine eindimensionale Einheit (beispielsweise Meter), die Flächen haben diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).

Flächen der Möndchen A₁ und A₂, Schnittfläche A_s

Radien und Abstand. Hier: a=2,8; b=3,6; c=4

Sowohl die beiden Möndchen, als auch die Schnittfläche der beiden Kreise und die gesamte Form haben genau eine Symmetrieachse, wenn die Kreise unterschiedlich groß sind. Diese Symmetrieachse geht durch die Mittelpunkte der beiden Kreise. Für verschieden große Kreise gibt es keine weiteren Symmetrien. Wenn beide Kreise allerdings gleich groß sind, dann kommt eine weitere Symmetrieachse für die Schnittfläche und die Gesamtform, sowie für beide Möndchen zusammen dazu, welche durch die beiden Schnittpunkte der Kreise verläuft. Dann ist diese Form auch punktsymmetrisch zu dem Mittelpunkt, welches der Schnittpunkt der beiden Symmetrieachsen ist. Eine solche Form ist auch rotationssymmetrisch zu diesem Punkt bei einer Drehung von 180 Grad und Vielfachen davon.
Wenn beide Kreise gleich groß sind, dann ist das dreidimensionale Äquivalent dieser Figur die Doppelkugel.

Zuletzt aktualisiert am 31.03.2026. Autor: Jürgen Kummer

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