Kegelkeil - Rechner

Name: Kegelkeil - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen bei einem geraden Kegelkeil, Kegelsegment oder Kegelabschnitt. Ein solcher Kegelkeil entsteht, wenn aus einem Kegel parallel zur Höhe ein Stück herausgeschnitten wird. Die beim Schnitt entstandene gebogene Kante ist eine Hyperbel, der Abschnitt am Boden ist ein Kreissegment.
Geben Sie Radius und Höhe des Kegels sowie die Stärke des Kegelkeils ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.

Formeln:

falls 0<s≤r:

j = \frac{h \cdot s}{r}

t = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot r \cdot s - s^{2}}

l = \sqrt{s^{2} + j^{2}}

falls r<s<2r:

z = 2 r - s

j = \frac{h \cdot z}{r}

t = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot r \cdot z - z^{2}}

l = \sqrt{z^{2} + j^{2}}

falls 0<s<r:

V = \frac{r^{2} π h + \frac{2 \cdot {(r - s)}^{3} \cdot h}{r} \cdot arcosh (\frac{r}{r - s}) - 2 \cdot r^{2} h \cdot \arcsin (\frac{r - s}{r}) - 4 \cdot (r - s) h \cdot \sqrt{2 r s - s^{2}}}{6}

falls s=r:

V = \frac{r^{2} \cdot π \cdot h}{6}

V = \frac{r^{2} π h - \frac{2 \cdot {(r - z)}^{3} \cdot h}{r} \cdot arcosh (\frac{r}{r - z}) + 2 \cdot r^{2} h \cdot \arcsin (\frac{r - z}{r}) + 4 \cdot (r - z) h \cdot \sqrt{2 r z - z^{2}}}{6}

Kreiszahl pi:

π = 3.141592653589793 ...

Radius, Höhen, Stärke und Breite haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter).

Die sehr komplizierten Formeln für das Volumen mit dem Arkuskosinus Hyperbolicus entstehen durch Integration über die hyperbolische Randkurve. Die Fallunterscheidung differenziert zwischen einem Keil eines Kegels, welcher kleiner als ein halber Kegel ist und einem, welcher größer als ein halber Kegel ist. Der Grenzfall eines Halbkegels, bei welchem s=r gilt, ist natürlich mathematisch wesentlich einfacher.
Die Oberfläche kann hier nicht berechnet werden. Sie bestünde aus drei Teilen. Die Basis ist ein Kreissegment, welches mathematisch keine Probleme macht. Die andere gerade Fläche, ein Hyperbelsegment, lässt sich algebraisch berechnen, ist aber komplizierter. Der dritte Teil, der Abschnitt der Mantelfläche, ist nicht mehr als Formel elementar ausdrückbar, sondern würde elliptische Integrale benötigen.

Im Gegensatz zu dem rotationssymmetrischen Kegel hat ein solcher Kegelkeil stark an Symmetrie verloren. Er ist nur noch zu einer Ebene spiegelsymmetrisch, diese verläuft senkrecht zur Schnittebene durch die Höhenlinie des Kegelkeils.

Die Hyperbel ist die eine Art der Kegelschnitte. Schneidet man einen geraden Kreiskegel parallel zu der Grundfläche, dann entstehen Kreise. Ein Schnitt schräg durch den Kegel, der die Grundfläche nicht schneidet, erzeugt Ellipsen. Ein Schnitt durch die Mantelfläche und die gegenüberliegende Seite der Grundfläche erzeugt ein Parabelsegment. Der Schnitt durch die Mantelfläche und die Grundfläche, ohne die Mitte des Kegels zu überschreiten erzeugt schließlich das Hyperbelsegment. Die Kegelschnitte wurden schon von den alten Griechen untersucht.

Zuletzt aktualisiert am 14.05.2026. Autor: Jürgen Kummer

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