Konkaves Viereck - Rechner

Name: Konkaves Viereck - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen bei einem spitzen, konkaven Viereck, einem Viereck mit einem überstumpfen Winkel, also einem Winkel größer als 180°. Die Berechnung erfolgt, indem man das konkave Viereck in Dreiecke zerlegt, welche dann mit den entsprechenden Formeln berechnet werden können.
Geben Sie die ersten drei Längen a, b und c sowie die beiden Winkel zwischen diesen, β und γ ein. Der Winkel γ muss spitz sein (kleiner 90°), damit die Berechnung funktioniert. Die Innenseite c muss kürzer als jede der Außenseiten a und b sein. Winkel bitte in Grad angeben, hier kann man Winkel umrechnen.

Form des spitzen, konkaven Vierecks (a unten). Die Ausrichtung ist anders als im Beispiel oben. Wenn dieses Viereck überschlagen gezeichnet wird, dann ist obige Rechnung ungültig:

Formeln:

e = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (β)}

f = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (γ)}

β_{1} = \arccos (\frac{f^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 f b})

β_{2} = β - β_{1}

d = \sqrt{a^{2} + f^{2} - 2 a f \cdot \cos (β_{2})}

α = \arccos (\frac{a^{2} + d^{2} - f^{2}}{2 a d})

δ = 360 ° - α - β - γ

u = a + b + c + d

A = \sqrt{\frac{a + f + d}{2} \cdot (\frac{a + f + d}{2} - a) \cdot (\frac{a + f + d}{2} - f) \cdot (\frac{a + f + d}{2} - d)} + \sqrt{\frac{b + c + f}{2} \cdot (\frac{b + c + f}{2} - b) \cdot (\frac{b + c + f}{2} - c) \cdot (\frac{b + c + f}{2} - f)}

Längen, Diagonalen und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).

Konkav bedeutet nach innen gewölbt, im Gegensatz zu konvex, was nach außen gewölbt bedeutet. Ein Körper oder eine Form ist konkav, wenn es eine oder mehrere Wölbungen nach innen gibt, konkave Formen haben aber immer auch Wölbungen nach außen. Im Falle von konkaven Polygonen sind die Wölbungen nicht, wie der Name andeutet, rund, sondern liegen in der Form von nach innen gerichteten Ecken vor. Das konkave Viereck hat eine solche nach innen gehende Ecke, deren Innenwinkel, in obiger Zeichnung δ, hat zwischen 180 und 360 Grad. Die drei anderen Winkel sind konvex. Die beiden benachbarten konvexen Winkel, α und γ sind spitze Winkel. β kann ein spitzer oder ein stumpfer Winkel sein. Ein symmetrischer Spezialfall des konkaven Vierecks ist das Pfeilviereck. Wenn es kein Pfeilviereck ist, dann hat das konkave Viereck keine Symmetrien.
Die auf den ersten Blick sehr komplizierte Formel für den Flächeninhalt ergibt sich aus den Flächeninhalten der beiden Dreiecke, wobei (a+f+d) der Umfang des einen und (b+c+f) der Umfang des anderen Dreiecks ist.

Zuletzt aktualisiert am 31.03.2026. Autor: Jürgen Kummer

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