Berechnungen bei einer Kardioide (Herzkurve), einer Epizykloide mit einem Bogen. Eine Kardioide wird gebildet, wenn ein Kreis mit dem Durchmesser a anliegend um einen gleichgroßen anderen Kreis rollt. Die Bahn eines Punktes auf dem rollenden Kreis erzeugt diese Form. Die Kardioide hat an ihrer Symmetrieachse den Durchmesser 2a.
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Erzeugung einer Kardioide.
Formeln:
a = 2 * r
u = 8 * a
A = 3/2 * a² * π
Kreiszahl pi:
π = 3.141592653589793...
Radius, Durchmesser und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Die Länge einer Kardioide, also deren Umfang, wurde 1708 von den französischen Mathematiker Philippe de La Hire erstmals berechnet. Der mathematisch einfach erscheinende Zusammenhang, dass diese Länge acht Mal dem Durchmesser beziehungsweise 16 Mal dem Radius jedes der beiden zu Grunde liegenden Kreise entspricht ist in der Herleitung tatsächlich nicht ganz so simpel und bedarf einer Integration. Die Bezeichnung Kardioide für diese Form wurde einige Jahre nach der Berechnung von Philippe de La Hire von dem italienischen Mathematiker Giovanni Francesco Salvemini de Castillon etabliert. Tatsächlich erinnert sie wohl etwas mehr an die Form eines menschlichen Herzens als die übliche stilisierte Herzform mit einer konvexen Spitze.
Eine natürliche Kardioide als Lichterscheinung zeigt sich auf dem Boden einer zylindrischen Tasse, bei der seitlich auf eine Innenseite Licht fällt, welches auf den Tassenboden reflektiert wird.
Die Kardioide ist achsensymmetrisch zu der Gerade durch deren Spitze und den gegenüberliegenden Punkt auf dem Kreisbogen, welcher am weitesten von deren Spitze entfernt ist. Andere Symmetrien hat sie keine.
