Sehnenviereck - Rechner

Name: Sehnenviereck - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen bei einem Sehnenviereck. Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, bei dem alle Eckpunkte auf einem Kreis liegen. Eine Sehne ist die gerade Verbindung zweier Punkte auf einer Kurve.
Geben Sie die vier Seiten (Sehnen) a, b, c und d ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. Die Ausgabe der Winkel erfolgt in Grad, hier kann man Winkel umrechnen.

Formeln:

e = \sqrt{\frac{(a c + b d) \cdot (a d + b c)}{(a b + c d)}}

f = \sqrt{\frac{(a b + c d) \cdot (a c + b d)}{(a d + b c)}}

a \cdot c + b \cdot d = e \cdot f (Satz des Ptolemäus)

α = \arccos (\frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 \cdot (a d + b c)})

δ = \arccos (\frac{d^{2} + c^{2} - a^{2} - b^{2}}{2 \cdot (d c + a b)})

β = 180 ° - δ

γ = 180 ° - α

u = a + b + c + d

Halbumfang

s = \frac{u}{2}

A = \sqrt{(s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c) \cdot (s - d)}

r_{U} = \frac{1}{4 \cdot A} \cdot \sqrt{(a b + c d) \cdot (a c + b d) \cdot (a d + b c)}

Seitenlängen, Diagonalen, Umfang und Radius haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (z.B. Quadratmeter).

Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf dem Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechter. Diese kann man konstruieren, indem man um zwei benachbarte Eckpunkt gleich große, sich schneidende Kreise zieht und deren Schnittpunkte verbindet.

Umfang u, Flächeninhalt A

Seiten und Winkel

Radius und Umkreis

Mittelsenkrechte

Als Sehne bezeichnet man die gerade Verbindung zweier Punkt auf einer Kurve, wobei diese Kurve oft, wie hier, eine Kreisbahn ist. Das Sehnenviereck setzt sich also aus vier Sehnen zusammen, von denen jeweils zwei in einem Punkt auf dem Kreis ausgehen, ohne dass sich diese Sehnen schneiden. Der Satz des Ptolemäus, welcher sich auf die Längen der Seiten und der beiden Diagonalen im Sehnenviereck bezieht, kann als Verallgemeinerung des wesentlich bekannteren Satz des Pythagoras aufgefasst werden. Er lautet ausgeschrieben: das Produkt beider Diagonalenlängen ist gleich der Summe der Produkte beider gegenüber liegender Seitenlängen. Dieser Satz wurde von Claudius Ptolemäus aufgestellt, welcher im zweiten Jahrhundert in Alexandria in Ägypten tätig war und sich vor allem mit Astronomie und Geometrie beschäftigte. Sein geozentrisches Weltbild, bei dem die Erde im Mittelpunkt steht und von der Sonne und den andren Planeten umkreist wird, war Jahrhunderte lang in Gebrauch, erwies sich aber schließlich als grundfalsch. Der Satz des Ptolemäus dagegen ist immer noch korrekt.

Zuletzt aktualisiert am 31.03.2026. Autor: Jürgen Kummer

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