Berechnungen bei einem Zahnrad mit Zähnen in der Form eines gleichschenkligen Trapezes. Diese werden regelmäßig auf einen Kreis aufgesetzt, so dass die Zahnkante genau in die Lücke zwischen zwei Zähnen passt. Dies ist eine vereinfachte Darstellung eines Zahnrades, es wird nicht getestet, ob das Zahnrad funktioniert oder verkantet. Für ein Zahnrad mit spitzen Zähnen, also a=0, siehe vielzackiger Stern.
Folgende Angaben sind nötig: bei Anzahl der Zähne eine natürliche Zahl ab 3. Zwei Werte von Kreisradius, Zahnhöhe und Zahnradradius. Das Verhältnis aus Zahnkante (bzw. Lücke) und Zahnbasis. Für dieses muss gelten: v ∈ ] 0 ; 1 ]. Die anderen Werte werden berechnet.
Formeln:
R = r + i
a = 2 * π * r / [ n * ( 1 + 1/v ) ]
b = a / v
h = r * { 1 - cos[b/(2r)] } + i
c = √ h² + (a-b)² / 4
s = 2 * √ 2 * r * (h-i) - (h-i)²
u = 2n * (a + c)
A = π * r² + n/2 * [ √ ( a + b )² * ( a - b + 2c ) * ( b - a + 2c ) / 2 - r * b + s * ( r - h + i ) ]
Test, ob c den Kreis schneidet:
Wenn b/(2r) > arccos{ [ (s-a)²/4 + c² - h² ] / [ (s-a) * c ] }
dann ist der Zahn zu flach.
Kreiszahl pi:
π = 3.141592653589793...
Radien, Höhen, Längen und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Dies ist eine mögliche Form eines Zahnrades - und zwar eine solche, die sich gut berechnen lässt. Diese dient vor allem als Beispiel für die Formelfindung und Berechnung derartiger Formen. Bei modernen Zahnrädern haben die Zähne oft abgerundete Formen, damit sie besser abrollen, die aber solche Berechnungen immens schwierig machen. Bei alten Zahnrädern wurden mitunter rechteckige Formen angewendet, bei der die Gefahr besteht, dass sie leicht verkeilen. Rechteckige Zähne können hier mit dem Verhältnis v=1 berechnet werden.
Zahnräder sind keine moderne Erfindung, sie wurden bereits im alten Ägypten und Griechenland verwendet. Berühmt ist der Mechanismus von Antikythera aus dem ersten vorchristlichen Jahrhundert, welcher vermutlich eine Art astronomische Uhr darstellte. Durch die Industrialisierung, insbesondere die Dampfmaschine, wurden Zahnräder dann ein Massenprodukt für die Übertragung von Kraft. Heute finden sie sich in allerlei mechanischen Geräten, sehr kleine in Armbanduhren, sehr große beispielsweise im Antriebssystem von Seilbahnen.