Rotationskörper - Rechner

Berechnungen bei einem Rotationskörper oder Drehkörper. Ein solcher entsteht, wenn eine ebene Kurve senkrecht um eine Achse rotiert. Die Kurve darf die Achse nicht schneiden. Wenn die Kurve die Achse berührt, entsteht ein geschlossener Rotationskörper, ansonsten entsteht ein Toroid. Die Mantelfläche wird mit der ersten Guldinschen Regel berechnet, für diese benötigt man die Kurvenlänge und den Abstand des Kurvenschwerpunktes von der Achse. Das Volumen wird mit der zweiten Guldinschen Regel berechnet, für diese benötigt man die Fläche unter der Kurve und den Abstand des Flächenschwerpunktes von der Achse. Hat die Kurvenlinie oben und unten einen Abstand von der Achse, aber berührt die erzeugende Fläche die Achse, so dass am Rotationskörper dort Kreisflächen entstehen, muss man den oberen und unteren Radius angeben. Mantelfläche, Oberfläche und Volumen des Rotationskörpers werden berechnet.

	Länge erzeugende Kurve (L):
	Radius am Kurvenschwerpunkt (R1):
	Erzeugende Fläche (A):
	Radius am Flächenschwerpunkt (R2):
	Radius oben (r1):
	Radius unten (r2):
	Mantelfläche (M):
	Oberfläche (B):
	Rauminhalt (V):
	Oberfläche zu Volumen (B/V):
	Runden auf   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15   Nachkommastellen.

Länge und Radien haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), die Oberflächen haben diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter).

Die obigen Formeln sind nicht sonderlich kompliziert. Dennoch ist die Berechnung von Oberfläche und Volumen eines Rotationskörpers eine mitunter sehr schwierige Aufgabe. Grund dafür ist, dass Flächenschwerpunkt und Kurvenschwerpunkt schwierig zu finden sind. Die Flächenschwerpunkte mancher Körper lassen sich mitunter noch in Formelsammlungen finden, auf Kurvenschwerpunkte stößt man dort eher selten. Um diese beiden Schwerpunkte zu berechnen muss man mit Integralen arbeiten und sich damit in die anspruchsvolleren Bereiche der Mathematik begeben. Wenn die erzeugende Kurve nicht von einer einzelnen algebraischen Funktion, sondern von mehreren definiert wird, dann muss man natürlich die Abschnitte einzeln ausrechnen. Für die Oberfläche werden dann die einzelnen Mantelflächen addiert und gegebenenfalls oberer und unterer Kreis dazu gezählt. Für das gesamte Volumen werden die einzelnen Volumina der Schichten addiert.