Berechnungen bei einem regelmäßigen Pentagramm. Ein Pentagramm bildet sich aus den Diagonalen eines Fünfecks. Das Pentagramm ist das einfachste Sternpolygon. Die Sehnenabschnitte des regelmäßigen Pentagramms stehen zueinander in Verhältnis des Goldenen Schnitts φ.
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Formeln:
l = a * φ
b = a / φ
c = b / φ
a = b + c
l = a + b
u = 10 * b
rU = a / 10 * √ 50 + 10 * √5
A = √ 5 * ( 5-2√5 ) * a² / 2
Abstand, Sehnen und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Das Pentagramm war schon vor über 5000 Jahren in Mesopotamien bekannt. Pythagoras von Samos und die Pythagoreer interessierten sich besonders dafür wegen des Auftretens des Goldenen Schnitts. Pentagramme wurden und werden als Symbol für die unterschiedlichsten mythologischen und religiösen Aspekte verwendet, wobei zwei Versionen zu unterscheiden sind: die mit einer und die mit zwei Zacken oben. Was mathematisch gesehen natürlich keinerlei Unterschied macht. Beide Versionen galten auch als Schutzsymbol gegen böse Mächte. Die Landesflaggen von Marokko und von Äthiopien enthalten ein Pentagramm, dazu finden sie sich in einigen Wappen, manchmal auch als ausgefüllter Stern.
Die Spitzen des Pentagramms bilden ein regelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge a, im Inneren des Pentagramm ist ein kleineres, auf den Kopf gestelltes Fünfeck mit der Seitenlänge a/φ² zu finden, mit φ als Verhältnis des Goldenen Schnittes. In diesem lässt sich natürlich ein weiteres Pentagramm finden und so weiter. Die Zacken des Pentagramms bilden gleichschenklige Dreiecke mit der Schenkellänge b und der Basislänge c, deren Winkel an der Spitze beträgt 36 Grad und an der Basis 72 Grad. Dementsprechend ist an den konkaven Ecken zwischen zwei langen Sehnenabschnitt b der Winkel 108 Grad, ebenso wie der konvexe Winkel des inneren Fünfecks und des umschließenden äußeren Fünfecks.