Berechnungen bei einer Zykloide. Eine Zykloide ist die Bahn eines Punktes am Rand eines Kreises, der auf einer Geraden abrollt. Die hier berechnete Form ist jene zwischen der Zykloide und der Geraden, auf welcher der Kreis rollt, von einem Berührungspunkt des Kreises mit der Geraden bis zu dem nächsten.
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Erzeugung einer Zykloide.
Formeln:
b = 8 a
c = 2 π a
h = 2 a
u = b + c
A = 3 π a²
Kreiszahl pi:
π = 3.141592653589793...
Radius, Kreisbogenlänge, Basislänge, Höhe und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Die Zykloide hat zwei Spitzen, jeweils eine an den Punkten, an welchen sich die Gerade und die Kurve berühren. Sie ist achsensymmetrisch zu ihrer Mittelsenkrechten, welche auf der Linie der Höhe dieser Form liegt. Wenn ein Fahrzeug auf Rädern eine Strecke x zurücklegt, dann legt ein einzelner Punkt auf der Außenseite eines Rades die Strecke b/c mal x zurück, das ist 4/π * x, oder etwa 1,27324 mal x. Dabei spielt die Größe des Rades keine Rolle, da sich dessen Radius herauskürzt.
Die Zykloide war wohl schon in der Antike bekannt als die Form, welche entsteht, wenn ein Wagenrad über die Ebene rollt. Deren Verlauf lässt sich allerdings nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren und die Berechnung der Größe war lange nicht möglich. Erste mathematische Untersuchungen wurden über das sechzehnte Jahrhundert hinweg an dieser Kurve gemacht, unter anderem von Galileo Galilei. Im siebzehnten Jahrhundert wurde die Zykloide umfassend erschlossen. Die ersten Berechnung von Länge und Fläche gelang im Jahr 1629 dem Italiener Bonaventura Cavalieri. 1697 fand Johann Bernoulli heraus, dass eine umgekehrte, etwas gekippte Zykloide eine Brachistochrone ist. Dies ist eine Bahn, auf der durch die Gravitationskraft sich eine reibungsfreie Masse bei einer Geschwindigkeit von Null startend am schnellsten vom Startpunkt zum Endpunkt bewegt.
