Berechnungen bei einem Dodekaederstern (Kleines Sterndodekaeder). Dieses ist der erste von vier Kepler-Poinsot-Körpern oder reguläre Sternpolyeder, das sind regelmäßige, nicht-konvexe (konkave) Polyeder. Der Dodekaederstern wird gebildet aus einem Dodekaeder mit der Kantenlänge a, dessen Kanten verlängert werden, bis sich je fünf in einem Punkt schneiden. Auf jede Fläche wird also eine passende, gerade Pyramide mit einem regelmäßigen Fünfeck als Basis aufgesetzt. Die Seiten der Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke, das Verhältnis von Grat s zu Kante a ist, wie beim Pentagramm b zu c, der Goldene Schnitt. s, c und A sind gleich wie beim Ikosaederstern.
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Kante a, Grat s und eine Seite in der Form eines Pentagramms P mit den Sehnen der Länge c.
Formeln:
s = a/2 * ( 1 + √5 ) = a * φ
c = a * ( 2 + √5 ) = a + 2s
rU = a/4 * √50 + 22√5
hp = a/5 * √25 + 10√5
A = 15a² * √5 + 2√5
V = 5/4a³ * ( 7 + 3√5 )
Längen, Radius und Höhe haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), Flächeninhalte haben diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter). Das Verhältnis A/V hat diese Einheit -1.
Die vier Kepler-Poinsot-Körper sind die einzigen regulären Sternpolyeder. Die ersten beiden, Dodekaederstern und Ikosaederstern sind schon länger bekannt. Der Dodekaederstern wurde 1430 von Paolo Uccello gefunden, der Ikosaederstern 1568 von Wenzel Jamnitzer. Beide wurden dann im Jahre 1619 von Johannes Kepler ausführlich beschrieben. Die anderen beiden, Grosses Dodekaeder und Grosses Ikosaeder wurden im Jahr 1809 von Louis Poinsot entdeckt. Der Dodekaederstern ist dual zum Großen Dodekaeder, der Ikosaederstern ist dual zum Großen Ikosaeder.
