Berechnungen bei einem Fass. Geometrisch ist ein Fass ein verlängertes Sphäroid mit abgeschnittenen Spitzen, so dass oben und unten Kreise gleicher Größe entstehen. Die Formel für die Abschätzung des Volumens eines Fasses wurde von Johannes Kepler entdeckt. Die Oberfläche eines wenig gebogenen Fasses ist ähnlich der eines Zylinders mit dem Radius R. Mit einer stärkeren Abweichung von der Zylinderform steigt die Oberfläche je Volumen des Fasses.
Geben Sie beide Radien und die Höhe ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
d = √ h² + ( 2 * r )²
V ≈ π * h * ( 2R² + r²) / 3
Kreiszahl pi:
π = 3.141592653589793...
Radien, Höhe und Diagonale haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter).
Das genaue Volumen eines Fasses ließe sich nur über sehr komplizierte Integrale bestimmen, welche algebraisch nicht darstellbar sind, sich also nicht in eine rechenbare Formel bringen lassen. Die Näherungsformel von Johannes Kepler, die sogenannte Keplersche Fassregel, geht von einer parabelförmigen äußeren Begrenzung des Fasses aus, sie ist also umso besser, je eher die Seitenlinien des Querschnittes sich durch eine Parabel darstellen lassen. Johannes Kepler bestellte zu seiner Hochzeit im Jahre 1615 mehrere Fässer Wein und ärgerte sich darüber, dass die Weinhändler das Volumen der Fässer so maßen, als seinen diese zylinderförmig, daher beschäftigte er sich mit diesem Thema.
Die Keplersche Fassregel lässt sich für alle Rotationskörper verwenden, wenn deren erzeugende Kurven sich durch Parabeln simulieren lassen. Die Erweiterung der Keplerschen Fassregel auf Kurven allgemein, insbesondere auf solche, welche schwer integrierbar sind, ist die Simpsonregel. Deren Anwendung ist kompliziert, führt aber zu guten Näherungen und einer Fehlerabschätzung. Die Simpsonregel wurde von Thomas Simpson Mitte des 18. Jahrhunderts gefunden.