Polygon - Rechner

Name: Polygon - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen bei einem einfachen Polygon. Ein Polygon oder Vieleck besteht aus geraden Kanten und mindestens drei Ecken. Einfach ist das Polygon, wenn sich die Kanten nicht schneiden, das Polygon also nicht überschlagen ist. Hier können aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte die Seitenlängen sowie Umfang und Flächeninhalt des Polygons berechnet werden.
Geben Sie dazu zunächst die Anzahl der Eckpunkt (3 bis 30) an und danach die x- und die y-Koordinate zu jedem Eckpunkt. Runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. Die Seite 1 geht von Punkt 1 zu Punkt 2, die Seite 2 von Punkt 2 zu 3, ..., die letzte Seite geht von Punkt n zu 1.

	Ecken (n):	Ein einfaches Polygon mit 14 Ecken.
	Ecke `1`: x= y=
	Ecke `2`: x= y=
	Ecke `3`: x= y=
	Ecke `4`: x= y=
	Ecke `5`: x= y=
	Ecke `6`: x= y=
	Ecke `7`: x= y=
	Ecke `8`: x= y=
	Ecke `9`: x= y=
	Ecke `10`: x= y=
	Ecke `11`: x= y=
	Ecke `12`: x= y=
	Ecke `13`: x= y=
	Ecke `14`: x= y=
	Ecke `15`: x= y=
	Ecke `16`: x= y=
	Ecke `17`: x= y=
	Ecke `18`: x= y=
	Ecke `19`: x= y=
	Ecke `20`: x= y=
	Ecke `21`: x= y=
	Ecke `22`: x= y=
	Ecke `23`: x= y=
	Ecke `24`: x= y=
	Ecke `25`: x= y=
	Ecke `26`: x= y=
	Ecke `27`: x= y=
	Ecke `28`: x= y=
	Ecke `29`: x= y=
	Ecke `30`: x= y=
	Runden auf Nachkommastellen.

	Seite 1:
	Seite 2:
	Seite 3:
	Seite 4:
	Seite 5:
	Seite 6:
	Seite 7:
	Seite 8:
	Seite 9:
	Seite 10:
	Seite 11:
	Seite 12:
	Seite 13:
	Seite 14:
	Seite 15:
	Seite 16:
	Seite 17:
	Seite 18:
	Seite 19:
	Seite 20:
	Seite 21:
	Seite 22:
	Seite 23:
	Seite 24:
	Seite 25:
	Seite 26:
	Seite 27:
	Seite 28:
	Seite 29:
	Seite 30:
	Umfang (u):
Flächeninhalt (A):

Form des Polygons. Wenn dieses Polygon als überschlagen gezeichnet wird, dann stimmt obige Flächenberechnung nicht:

Formeln:

Länge der Seite i = \sqrt{{(x_{i + 1} - x_{i})}^{2} + {(y_{i + 1} - y_{i})}^{2}}

u = Σ_{i = 1}^{n} \sqrt{{(x_{i + 1} - x_{i})}^{2} + {(y_{i + 1} - y_{i})}^{2}}

A = \frac{| Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i + 1} - y_{i} \cdot x_{i + 1} |}{2}

mit x_{n + 1} \to x_{1} und y_{n + 1} \to y_{1}

Σ ist das Summenzeichen, | | ist die Betragsfunktion.

x- und y-Koordinate geben die Lage eines Punktes rechts und oberhalb vom Nullpunkt im kartesischen Koordinatensystem wieder. Längen und Umfang haben eine eindimensionale Einheit (beispielsweise Meter) der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).

Die Berechnung des einfachen Polygons erfolgt mit der Gaußschen Trapezformel, welche von Carl Friedrich Gauss and Carl Gustav Jacob Jacobi im 19. Jahrhundert gefunden wurde. Diese Formel ordnet jeder Kante des Polygons ein Trapez zu. Diese Trapeze haben positive oder negative Flächen, je nachdem ob sie innerhalb des Polygons oder außerhalb liegen. Schließlich werden alle diese Flächen addiert, um den Flächeninhalt des einfachen Polygons zu erhalten. Die Berechnung des Umfangs erfolgt ähnlich, nur mit den Kantenlängen statt mit den Flächen.
Die Eingabe ist umständlich, dafür lassen sich beliebige Polygone hiermit berechnen. Für Polygone mit einer bestimmten Form, für die es eigene Formeln und Rechner gibt, insbesondere für Dreiecke und Vierecke, sind diese auf jeden Fall zu bevorzugen.

Zuletzt aktualisiert am 23.04.2026. Autor: Jürgen Kummer

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