Berechnungen bei einem regelmäßigen Oktaeder, einem Achtflächner mit gleichlangen Kanten und gleichgroßen Winkeln. Das Oktaeder ist der dritte der fünf platonischen Körper.
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Formeln:
A = 2 * a² * √3
V = a³ / 3 * √2
d = √2 * a ( = 2 * rU )
rU = a / 2 * √2
rK = a / 2
rI = a / 6 * √6
A/V = 3 * √6 / a
Das regelmäßige Oktaeder ist ein platonischer Körper. Kantenlänge, Diagonale und Radius haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), die Oberfläche hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter). Das Verhältnis A/V hat diese Einheit -1.
Netz eines Oktaeders, der dreidimensionale Körper in zwei Dimensionen zur Fläche aufgeklappt.
Der duale Körper zum regelmäßigen Oktaeder ist der Würfel oder regelmäßige Hexaeder und umgekehrt. Das Oktaeder ist punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt, hat 9 Symmetrieebenen und 12 Drehachsen, zu welchen es rotationssymmetrisch ist. Wenn einem Oktaeder regelmäßig die Ecken abgeschnitten werden, dann entsteht der archimedische Körper Oktaederstumpf. Die Schnittmenge aus zwei gleich großen, gegenseitig ausgerichteten Tetraedern ist ein Oktaeder.
Es gibt achtseitige Spielwürfel in Oktaederform. Mehrere Mineralien kristallisieren oktaedrisch, darunter Alaun und Diamant. Nach Platon ist der Oktaeder mit dem Element Luft verbunden. Der Tetraeder steht für das Feuer, der Würfel für Erde, der Ikosaeder für Wasser und der Dodekaeder für das himmlische Element Äther. Diese Lehre der Verbindung der platonischen Körper mit den vier irdischen und dem einen himmlischen Grundelement hielt sich bis in die frühe Neuzeit und wurde von Johannes Kepler auf den Himmel und die Gestirne erweitert. Als chemische Elemente sind inzwischen mehr und andere bekannt, auch die Planetenbahnen sind gänzlich anders. Aber die regelmäßigen Polyeder sind immer noch die gleichen wie zu Platons Zeiten und werden sich auch nicht mehr ändern.
