Berechnungen bei einer Koch-Kurve. Die Koch-Kurve entsteht, wenn eine Gerade gedrittelt, über das mittlere Drittel ein gleichseitiges Dreieck errichtet und dessen untere Seite entfernt wird. Dies wird mit den vier neu entstandenen Seite wiederholt, das ganze unendlich oft. Damit ist die Koch-Kurve ein Fraktal mit der Hausdorff-Dimension ln(4)/ln(3)≈1,26186 und unendlicher Länge.
Die einzelnen Schritte werden als Iterationen bezeichnet. Hier kann die Länge der Koch-Kurve nach n Iterationen berechnet werden. Ihre Höhe ist die des ersten gleichseitigen Dreiecks. Geben Sie die Anzahl der Iterationen, sowie eine der beiden Längen an, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
m = l * (4/3)n
h = √3 / 6 * l
Längen und Höhe haben die gleiche eindimensionale Einheit (beispielsweise Meter). Die Anzahl der Iterationen ist dimensionslos und eine natürliche Zahl.
Der Name Fraktal wurde von Benoît Mandelbrot geprägt, es kommt von dem lateinischen Wort fractus, welches gebrochen bedeutet. Dies bezieht sich auf die Hausdorff-Dimension von solchen Gebilden, welche im Gegensatz zu uns gewohnten geometrischen Formen nicht ganzzahlig ist. Zur Berechnung der Hausdorff-Dimension bei der Koch-Kurve siehe oben. Bei einer Verdreifachung in jeder Richtung wird diese Kurve vier Mal so groß. Ein Rechteck als Beispiel hingegen wird bei einer Verdreifachung in jeder Richtung neun, also 3² mal so groß, es ist daher zweidimensional. Ein Quader dagegen würde 27 also 3³ mal so groß, er ist daher dreidimensional.
Allerdings ist auch die nach Mandelbrot benannte und berühmte Mandelbrotmenge ein Fraktal, obgleich nicht nur die Menge selber, sondern auch ihre Grenzlinie die Hausdorff-Dimension 2 hat, wobei nicht bekannt ist, ob die Grenze einen Flächeninhalt besitzt oder nicht. Das aber nur als Ausblick in die Welt des Fraktalen, in welche die Koch-Kurve einen guten Einstieg darstellt.