Berechnungen bei einer Ellipse. Geben Sie die beiden Halbachsen ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. Die große Halbachse ist die Entfernung von Mittelpunkt und dem entferntesten Punkt der Ellipse, die kleine Halbachse zwischen Mittelpunkt und nähestem Punkt der Ellipse. Sie stehen senkrecht aufeinander. Die lineare Exzentrizität ist der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt. Der Umfang wird über eine Näherungsformel (zweite Näherung von Srinivasa Ramanujan) bestimmt, die bis ε<0,9 sehr genau ist und bei ε=1 den maximalen Fehler von 0,04% hat. Eine exakte Berechnung müsste über elliptische Integrale nach Jacobi erfolgen, deren Werte Tabellen entnommen werden können.
uB ist eine die zweite Näherung von Ramanujan erweiternde, etwa 7 mal genauere Schätzung nach Jürgen Beck. Diese basiert auf einer Astroidenannäherung und ist noch nicht verfifziert.
Form der Ellipse:
Formeln:
e = √a² - b²
ε = e / a
A = π * a * b
Umfang nach der zweiten Näherung von Ramanujan:
u ≈ π * (a+b) * [ 1 + 3λ² / (10+√4-3λ² ) ]
λ = ( a - b ) / ( a + b )
Umfang nach der von Jürgen Beck erweiterten zweiten Näherung von Ramanujan:
uB = u + 0,00160934997662698*(1-x0,8)21
x = {2/[(a/b)bex+1]}(1/bex)
bex = ln(2) / ln(π/2)
Die Zahl 0,00160934997662698 ist die Differenz zwischen dem exakten Wert für den Umfang der Ellipse nach der numerischen Integration entsprechend der ausgerechneten Taylorreihe und dem Wert nach der zweiten Formel von Ramanujan, für a=1 und b=0.
Kreiszahl pi:
π = 3.141592653589793...
Halbachsen, lineare Exzentrizität und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter). Die numerische Exzentrizität ist dimensionslos.