Berechnungen mit der Lemniskate von Bernoulli. Die Form von Lemniskaten ist im Allgemeinen die einer liegenden Acht beziehungsweise des Unendlich-Zeichens ∞. Die Lemniskate von Bernoulli wird durch die Formel (x²+y²)²-2a²(x²-y²)=0 gebildet. Ihre beiden Teile werden hier als Tropfen bezeichnet. Der Flächeninhalt eines Tropfens entspricht dem eines Quadrates, dessen Seitenlänge gleich der Tropfenhöhe a ist.
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Formeln:
Lemniskatenkonstante:
Höhe, Länge und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Der Begriff Lemniskate kommt von dem griechischen Wort für Schleife. Es gibt mehrere Lemniskaten, die bekannteste ist jene hier, welche 1694 von Jakob I Bernoulli untersucht wurde. Diese Kurve lässt sich durch eine Gleichung vierten Grades erzeugen. Es ist auch die Kurve des mittleren Punktes bei einem Lemniskatenlenker aus drei in Reihe hintereinander gehängten Stangen. Die Endpunkte sind hierbei befestigt und liegen nah genug beisammen, um Drehbewegungen zu erlauben. Die Verbindungsstellen, an denen die mittlere Stange jeweils mit den äußeren verbunden ist, sind beweglich. Derartige Getriebe werden in manchen Maschinen verwendet.
Die Lemniskate von Bernoulli hat zwei Symmetrieachsen und ist punktsymmetrisch zu dem Punkt, an welchem sich die beiden Tropfen berühren, beziehungsweise an dem sich die Kurve schneidet. Sie hat ein paar weitere Interessante Eigenschaften. Zeichnet man mittig zwischen die beiden Abschnitte einer Hyperbel einen Kreis und spiegelt die Hyperbel dort hinein, dann erzeugt dies eine solche Lemniskate.
Obwohl die Kurve rund und geschwungen ist, ergibt die mathematische Berechnung einer der beiden Hälften über Integration den gleichen Flächeninhalt wie bei einem Quadrat mit der Seitenlänge a. Dies liegt daran, dass die Krümmung der Kurve so beschaffen ist, dass sich die breiteren und schmaleren Bereiche genau ausgleichen. Dadurch entsteht für jeden Tropfen genau die Fläche a².