Kuppen - Rechner

Name: Kuppe - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen bei einer Kuppe. Hier wird als Kuppe ein gleichschenkliges Trapez mit einem passend aufgesetzten Kreissegment bezeichnet, so dass an der Verbindung zwischen Trapez und Segment keine Ecke entsteht.
Geben Sie die Längen der drei unterschiedlichen Trapezseiten ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. Die Ausgabe des Winkels erfolgt in Grad, hier kann man Winkel umrechnen. Der Winkel des Kreissegments Θ ist zwei mal der Winkel α, Θ = 2α.

Formeln:

j = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 c^{2} - {(a - b)}^{2}}

α = \arccos [\frac{{(\frac{a - b}{2})}^{2} + c^{2} - j^{2}}{(a - b) \cdot c}]

i = \sqrt{\frac{\frac{b^{2}}{4}}{\frac{2}{[1 - \cos (α)]} - 1}}

h = i + j

l = i \cdot \frac{2 α}{1 - \cos (α)}

u = a + 2 c + l

A = \frac{\sqrt{{(a + b)}^{2} \cdot (a - b + 2 c) \cdot (b - a + 2 c)}}{4} + \frac{l^{2}}{4 α} - \frac{b \cdot (\frac{l}{2 α} - i)}{2}

(α in rad)

Längen, Höhen und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).

Das dreidimensionale Äquivalent einer solchen Kuppe ist der abgerundete Kegel, welcher entsteht, wenn man eine Kuppe um ihre Mittelsenkrechte rotiert. Analog kann man eine Kuppe auch als abgerundetes gleichschenkliges Dreieck bezeichnen. Die Mittelsenkrechte ist die Gerade senkrecht durch die Basismitte, entlang der Linie der Kreissegmenthöhe i. Wie das gleichschenklige Dreieck auch ist die Kuppe zu dieser Mittelsenkrechten achsensymmetrisch.

Die Herausforderung bei der Berechnung hier ist es, das nahtlos passende Kreissegment für das gleichschenklige Trapez zu finden. Dazu wird der Winkel α über den SWS-Satz des Dreiecks aus den Werten des Trapezes hergeleitet, das ist der aufwändigste Schritt. Aus diesem Winkel und der Sehnenlänge des Segments, welche ja gleich der kürzeren Trapezseite sein muss, lässt sich nun der Kreisradius und damit die weiteren Werte des Segments berechnen.

Diese Kuppe ist ein Beispiel dafür, wie man eine einzelne Ecke abrundet. Für die Abrundung einer beliebigen Ecke mit dem Winkel β gilt, dass β 180 Grad minus zwei α sein muss, also α=(180°-β)/2. Mit diesem α und der Breite der Abrundung kann dann das benötigte Kreissegment ermittelt werden.
Für andere zweidimensionale Formen mit mehreren abgerundeten Ecken, siehe abgerundetes Vieleck und abgerundetes Rechteck, wobei bei diesen alle Ecken gleich sind. Für unterschiedliche Ecken wird die Berechnung entsprechend aufwändiger.

Zuletzt aktualisiert am 09.04.2026. Autor: Jürgen Kummer

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