Berechnungen bei einer Astroide, einer Hypozykloide mit vier Spitzen. Eine Astroide oder Sternkurve ist die Bahn eines Kreises mit dem Radius a/4 (Durchmesser = a/2) in einem anderen Kreis mit den Radius a. Geben Sie einen Wert ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
Kreiszahl pi:
Radius, Länge und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter)
Die Astroide ist eine zweidimensionale, konkave Form aus vier gleichen, gebogenen Linien, welches keine Kreisbögen sind. Eine entsprechende Form aus vier Kreisbögen wird hier als Kreisbogenviereck bezeichnet. Die Länge eines Bogens der Astroide ist ein Viertel des gesamten Umfangs, beziehungsweise 3/2 a. Damit ist ein solcher Bogen und die von den Bögen begrenzte Fläche relativ einfach zu berechnen, was für runde Formen, welche nicht auf Kreisbögen basieren, keineswegs selbstverständlich ist.
Die Kurve einer Astroide lässt sich durch die Gleichungen x=a*cos³(t) und y=a*sin³(t) beschreiben, wobei der Winkel t von 0 bis 2π verläuft. Der Parameter a ist hier wie oben der Radius des festen Kreises, in dem der erzeugende Kreis rollt.
Die Astroide hat vier Symmetrieachsen. Zwei davon gehen durch jeweils gegenüberliegende Ecken und zwei durch die Mitte jeweils gegenüberliegender Kreisbögen. Diese beiden Achsen treffen sich in der Mitte der Astroide. Zu diesen Schnittpunkt ist die Astroide punktsymmetrisch und rotationssymmetrisch bei einer Drehung von 90 Grad und Vielfachen davon.
Die Astroide tritt in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik auf, insbesondere überall dort, wo Rollbewegungen oder Hüllkurven eine Rolle spielen. Sie lässt sich als Hüllkurve einer Schar von Strecken fester Länge verstehen, deren Endpunkte auf zwei zueinander senkrechten Geraden liegen. In der Physik erscheint sie unter anderem bei der Beschreibung von Kaustiken, also Lichtkurven, die durch Reflexion oder Brechung entstehen. In technischen Anwendungen, etwa bei speziellen Kurvengetrieben oder Zahnradformen, kann die Astroide als idealisierte Bewegungsbahn auftreten.