Winkelsumme im Vieleck berechnen
Rechner für die Winkelsumme in einem Polygon oder Vieleck, einer geschlossenen zweidimensionalen Form aus geraden Linien. Bei jedem Körper mit n Ecken und geraden Kanten ist die Summe der Innenwinkel gleich. Am bekanntesten ist dieser Zusammenhang bei einem Dreieck, wo die Winkelsumme immer 180 Grad beträgt. Bei einem Viereck sind es immer 360 Grad. Der Winkeldurchschnitt ist die Größe eines durchschnittlichen Winkels bei diesem Polygon. Bei einem regelmäßigen Vieleck ist der Winkeldurchschnitt die exakte Größe eines jeden Winkels.
Bitte als Anzahl der Ecken des Vielecks eine natürliche Zahl ≥3 angeben, die Winkelsumme und der Winkeldurchschnitt werden berechnet. Diese Berechnung gilt nur für die euklidische Geometrie, also für Formen auf einer geraden Ebene. In der nichteuklidischen Geometrie treten andere Winkelsummen auf, kleinere auf einer sattelförmigen Oberfläche, größere auf einer Kugel.
Die Formeln zur Berechnung der Winkelsumme in einen Vieleck sind:
Winkelsumme = n * 180° − 360°
Winkeldurchschnitt = 180° − ( 360° / n )
Der Winkeldurchschnitt ist mindestens 60 Grad (dies ist der Wert bei einem Dreieck) und nähert sich für große n 180 Grad an, ist aber immer kleiner.
Mit jeder Ecke mehr steigt die Winkelsumme um 180 Grad. Man kann ein n-Eck auch als n+1-Eck sehen, indem man einen beliebigen Punkt inmitten einer der Seiten als eine Ecke mit einem Winkel von 180 Grad betrachtet.
Diese Winkelsumme gilt auch für konkave Vielecke, also solche, wo eine oder mehrere Ecken nach innen gehen. Sie gilt aber nicht für überschlagene Vielecke und auch nicht für nichteuklidische Formen. Nichteuklidisch sind solche Formen, welche nicht auf einer Ebene, sondern auf einer gekrümmten Oberflächen liegen. Ein Beispiel für eine derartige Form ist das Kugeldreieck, bei welchem die Winkelsumme größer als 180 Grad ist. Auf elliptischen Oberflächen haben die Formen größere Winkelsummen, auf hyperbolischen Oberflächen haben die Formen kleinere Winkelsummen.