Kubische Gleichung berechnen

Rechner für kubische Gleichungen. Die drei Ergebnisse der Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 werden berechnet. Eine solche Gleichung dritten Grades hat immer mindestens eine reelle Lösung, die anderen beiden Lösungen können dagegen auch komplexe Zahlen sein. Bitte für jeden Koeffizienten a, b c und d einen Wert eingeben. Wird dieser weggelassen, dann wird a zu 1, die anderen zu 0 gesetzt. Die Formel wird in die Normalform umgewandelt, so dass der Parameter a von x³ gleich 1 ist. Die so erhaltene Gleichung besitzt dieselben Nullstellen wie die ursprüngliche.
Es werden nicht für alle Gleichungen Lösungen gefunden!

Die Lösungsformeln für kubische Gleichungen der Form x³+a₂x²+a₁x+a₀=0 lauten:
$$a=12a_1^3-3a_1^2{a}_2^2-54a_1{a}_2{a}_0+81a_0^2+12a_0{a}_2^3$$
$$b=\sqrt[3]{36a_1{a}_2-108a_0-8a_2^3+12\sqrt{a}}$$
$$x_1=\frac{b^2-12a_1+4a_2^2-2a_{2}b}{6b}$$
$$p=\frac{-b^2+12a_1-4a_2^2-4a_{2}b}{-6b}$$
$$q=\frac{a_1{a}_{2}b-9b{a}_0+b\sqrt{a}+b^2{a}_1-2a_1{a}_2^2-18a_2{a}_0+2a_2\sqrt{a}+12a_1^2}{3b^2}$$
$$x_2=-\frac{p}{2}+i\sqrt{-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+q}$$ $$x_3=-\frac{p}{2}-i\sqrt{-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+q}$$

Der Funktionsgraph einer Funktion dritten Grades ist stetig, kommt immer aus Richtung minus oder plus Unendlich und geht in die entgegengesetzte Richtung. Ist a positiv, dann geht er von minus nach plus Unendlich, ansonsten anders herum. Daher muss der Graph die x-Achse schneiden und daher hat er mindestens eine reelle Nullstelle. Dies gilt für alle ungeradzahligen Polynome. Geradzahlige Polynome hingegen können reelle Nullstellen haben, müssen es aber nicht, da sie entweder von Unendlich bis Unendlich oder von minus Unendlich bis minus Unendlich gehen und daher die x-Achse nicht schneiden müssen.

Bei quadratischen Gleichungen fanden schon die alten Babylonier vor gut 4000 Jahren heraus, wie man sie löst. Von kubischen Gleichungen war dies aber lange Zeit nicht bekannt. Erst im Jahr 1545 veröffentlichte der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano seine Lösungsformel für reduzierte kubische Gleichungen der Form x³+px+q=0, also ohne x². Aus den cardanischen Formeln lassen sich obige Lösungsformeln herleiten.