Kettenbruch berechnen

Rechner für endliche Kettenbrüche bis zu einer bestimmten Rechentiefe. Ein Kettenbruch ist ein fortgesetzter Bruch der Form a₁+b₁/(a₂+b₂/(...)). Diese Berechnung kann unendlich lang sein, hier kann sie bis zu einer großen Anzahl n an Rechenschritten durchgeführt werden, wenn sich a_i und b_i durch Formeln darstellen lassen. n muss eine natürliche Zahl sein, es wird mit dem Wert von n begonnen und bis 1 gerechnet. Als Laufvariable in den Formeln wird i verwendet. Als Rechenarten sind die Grundrechenarten + - * / erlaubt, dazu die Potenz pow(), z.B. pow(2#i) für 2ⁱ. Weitere erlaubte Funktionen sind sin(), cos(), tan(), asin(), acos(), atan(), log() für den natürlichen Logarithmus und fac() für die Fakultät. Dazu kommen die Konstanten e und pi.

Die Berechnung wird von hinten ausgeführt, also
k_n = a_n + b_n
k_n-1 = a_n-1 + b_n-1 / k_n
k_n-2 = a_n-2 + b_n-2 / k_n-1
...
k₁ = a₁ + b₁ / k₂

Beispiele:

• 1+1/(1+1/(1+1/(...))), also a=1, b=1, ist die Kettenbruchentwicklung des goldenen Schnitts.
• mit a=6 und b=pow(2*i-1#2) nähert man sich dem Wert von π+3. Mit 100 Rechenschritten ist das Ergebnis 6.1415923985336, der auf 13 Nachkommastellen genaue Wert dagegen beträgt 6.1415926535898. Diesen erreicht man erst nach etwa 20000 Rechenschritten.

Ein Kettenbruch ist theoretisch ein sich in die Unendlichkeit wiederholender Bruch. Praktisch kann hier natürlich nicht unendlich oft gerechnet werden, sondern nur bis zu einer bestimmten Rechentiefe. Je tiefer man rechnet, desto mehr sollte sich das berechnete Ergebnis dem wahren Wert des Kettenbruchs anpassen.
Mit Kettenbrüchen lassen sich reelle Zahlen erzeugen, also solche mit unendlich vielen und unregelmäßigen Nachkommastellen. Dies geht auch schon mit der Wurzelrechnung, so lässt sich der oben erwähnte goldene Schnitt auch als (1+√5)/2 schreiben. Es gibt aber auch reelle Zahlen, welche sich nicht durch Wurzeln abbilden lassen, also keine Lösung von Polynomen sind. Diese Zahlen heißen nicht-algebraisch oder transzendent. Ein Beispiel dafür ist die Kreiszahl pi. Auch solche Zahlen lassen sich mit einer Kettenbruchentwicklung abbilden, für pi ist eine solche oben angegeben. Auch die Eulersche Zahl e, eine weitere transzendente Zahl, lässt sich durch einen Kettenbruch erzeugen, dies ist jedoch komplizierter und mit obigem Rechner nicht machbar.