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Areafunktionen

Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen in deren Monotonieintervall. Eine Umkehrfunktion bedeutet für den Funktionsgraphen, dass dieser an der Geraden y=x gespiegelt wird. Die entsprechende Hyperbelfunktion wird umgekehrt gerechnet. Das Ergebnis ist eine Fläche.

Areafunktionen

Die Funktion sinh(x) (blau), die Gerade y=x (schwarz) und die Areafunktion arsinh(x) (rot).

Die Areafunktionen lassen sich in logarithmische Funktionen umwandeln, mit denen dann gerechnet werden kann:

Areasinus Hyperbolicus: arsinh(x) = ln( x + √ x² + 1 )
Areakosinus Hyperbolicus: arcosh(x) = ln( x + √ x² − 1 ) für x≥1
Areatangens Hyperbolicus: artanh(x) = ln[ (1+x) / (1-x) ] / 2 für |x|<1
Areakotangens Hyperbolicus: arcoth(x) = ln[ (x+1) / (x-1) ] / 2 für |x|>1
Areasekans Hyperbolicus: arsech(x)= ln[ ( 1/x + √ 1 − 1/x² ) ] für x ∈ ]0;1]
Areakosekans Hyperbolicus: arcsch(x)= ln[ ( 1/x + √ 1 + 1/x² ) ] für x≠0

ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e.


Hier ist ein kleiner Rechner, um Areafunktionen auszurechnen. Einen Wert eingeben, die Flächen werden berechnet.

Eingabewert:

Areasinus Hyperbolicus: Areakosinus Hyperbolicus:

Areatangens Hyperbolicus: Areakotangens Hyperbolicus:

Areasekans Hyperbolicus: Areakosekans Hyperbolicus:

Runden auf    Nachkommastellen.


Areafunktionen werden mit dem Vorsatz ar oder a versehen. Manchmal trifft man aber auch die Schreibweise mit -1 an, z.B. sinh-1(x) für arsinh(x). Diese birgt eine Verwechslungsgefahr mit dem Kehrwert, z.B. sinh(x)-1 = csch(x).




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Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus

Dies sind die Umkehrfunktionen von Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus. Areasinus Hyperbolicus, arsinh, ist streng monoton steigend, Definitionsbereich und Wertebereich sind ]-∞;∞[, er hat eine Nullstelle bei 0. Areakosinus Hyperbolicus, arcosh, ist streng monoton steigend, Definitionsbereich ist [1;∞[, Wertebereich ist [0;∞[, er hat eine Nullstelle bei 1.

Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
Die Graphen von Areasinus Hyperbolicus (blau) und Areakosinus Hyperbolicus (rot).

Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus

Dies sind die Umkehrfunktionen von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus. Areatangens Hyperbolicus, artanh, ist streng monoton steigend, Definitionsbereich ist ]-1;1[, Wertebereich ist ]-∞;∞[, er hat eine Nullstelle bei 0. Areakotangens Hyperbolicus, arcoth, ist streng monoton fallend, Definitionsbereich ist ]-∞;-1[ und ]1;∞[, Wertebereich ist ]-∞;0[ und ]0;∞[. Beide Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus
Die Graphen von Areatangens Hyperbolicus (blau) und Areakotangens Hyperbolicus (rot).

Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

Dies sind die Umkehrfunktionen von Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus. Areasekans Hyperbolicus, arsech, ist streng monoton fallend, Definitionsbereich ist ]0;1], Wertebereich ist [0;∞[, er hat eine Nullstelle bei 1. Areakosekans Hyperbolicus, arcsch, ist streng monoton fallend, Definitionsbereich und Wertebereich ist ]-∞;0[ und ]0;∞[, bei 0 ist eine Polstelle. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus
Die Graphen von Areasekans Hyperbolicus (blau) und Areakosekans Hyperbolicus (rot).

Anwendung

Areafunktionen werden da verwendet, wo Hyperbelfunktionen zurückgerechnet werden, um Flächen zu erhalten. Der Areasinus Hyperbolicus wird für die Berechnung der Oberfläche eines abgeplatteten Sphäroids benötigt.


Weiter

Es gibt viele weitere Anwendungen für erweiterte Hyperbelfunktionen.



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Die Graphen wurden mit dem Zeichenprogramm für Funktionsgraphen erstellt.

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