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Weitere Hyperbelfunktionen: Katenoide, sinhc, coshc, tanhc, Gudermannfunktion, Langevin-Funktion

Diese Funktionen werden aus den primären Hyperbelfunktionen gebildet: Katenoide, sinhc, coshc, tanhc, Gudermannfunktion, Langevin-Funktion.


Katenoide

Den Graphen von a * cosh( x/a ) nennt man auch Katenoide, Kettenlinie, er beschreibt die Form eines durchhängenden Seils (oder einer Kette). Der Parameter a gibt an, wie stark die Kette gespannt ist, für kleine a hängt sie stärker durch. Für a=1 entspricht die Funktion dem Kosinus Hyperbolicus.

Graph der Katenoide
Graph der Katenoide für a=2 (blau), a=3 (rot) und a=4 (grün).


Hier ist ein kleiner Rechner, um Funktionswerte der Katenoide auszurechnen. Bitte x und a eingeben.

Eingabewert x: Parameter a:

a*cosh(x/a):

Runden auf    Nachkommastellen.



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sinhc, coshc, tanhc

Analog zu sinc und tanc können auch die Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus und Tangens Hyperbolicus nach dem Funktionsargument gewichtet werden.

sinhc(x) = sinh(x) / x
coshc(x) = cosh(x) / x
tanhc(x) = tanh(x) / x

Graphen von sinhc, coshc, tanhc
Die Graphen von sinhc (blau), coshc (rot) und tanhc (grün).

Anwendung

sinhc und coshc werden beispielsweise verwendet, um optische Streuungen zu berechnen.


Hier ist ein kleiner Rechner, um sinhc, coshc und tanhc auszurechnen. Einen Wert eingeben, die anderen werden berechnet.

Eingabewert x:

sinhc(x): coshc(x): tanhc(x):

Runden auf    Nachkommastellen.


Gudermannfunktion

Die Gudermannfunktion ist eine Verbindung aus trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen, genauer aus Arkustangens und Sinus Hyperbolicus. Sie wird in der Integralrechnung zur Substitution verwendet.

gd(x) = arctan( sinh(x) )

Ihre Umkehrfunktion enthält Areasinus Hyperbolicus und Tangens, sie lautet

arcgd(x) = arsinh( tan(x) ) für x ∈ ]-π/2;π/2[

Gudermannfunktion
Die Gudermannfunktion (blau) und ihre Umkehrfunktion arcgd (rot).


Hier ist ein kleiner Rechner, um die Gudermannfunktion und ihre Umkehrfunktion auszurechnen. Einen Wert eingeben, die Funktionswerte werden berechnet.

Eingabewert x:

gd(x): arcgd(x):

Runden auf    Nachkommastellen.


Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion findet Anwendung bei der Berechnung von Polarisation und Magnetfeldern. Sie hat einen Wertebereich von ]-1;1[. Die Langevin-Funktion verwendet den Kotangens Hyperbolicus und ist definiert durch

L(x) = coth(x) − 1/x

Graph der Langevin-Funktion
Der Graph der Langevin-Funktion.


Hier ist ein kleiner Rechner für die Langevin-Funktion. Einen Wert eingeben, der Funktionswert wird berechnet.

Eingabewert x:

L(x):

Runden auf    Nachkommastellen.


Weiter

Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen haben Ableitungen und Stammfunktionen (Integrale).



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Die Graphen wurden mit dem Zeichenprogramm für Funktionsgraphen erstellt.

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