Ableitung und Stammfunktion trigonometrischer Funktionen und Hyperbelfunktionen

Formeln und Graphen von Ableitungen und Stammfunktionen (Integrale) der trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen. Eine Stammfunktion ist ein unbestimmtes Integral. Bei den Formeln der Stammfunktionen wird das +C weggelassen. Ein Klick auf ↓ zeigt zu den jeweiligen Graphen.

Formeln

Trigonometrische Funktionen

Funktion	Ableitung	Stammfunktion	Graph
sin(x)	cos(x)	-cos(x)	↓
cos(x)	-sin(x)	sin(x)	↓
tan(x)	1+tan²(x)	-ln(|cos(x)|)	↓
cot(x)	-1-cot²(x)	ln(|sin(x)|)	↓
sec(x)	sec²(x)/csc(x)	ln(|sec(x)+tan(x)|)	↓
csc(x)	-csc²(x)/sec(x)	ln(|tan(x/2)|)	↓
sin²(x)	sin(2x)	(x-sin(x)*cos(x))/2	↓
cos²(x)	-2*sin(x)*cos(x)	(x+sin(x)*cos(x))/2	↓
tan²(x)	2*sec²(x)*tan(x)	tan(x)-x	↓
cot²(x)	-2csc²(x)*cot(x)	-cot(x)-x	↓
sec²(x)	2*sec²(x)*tan(x)	tan(x)	↓
csc²(x)	-2*csc²(x)*cot(x)	-cot(x)	↓
asin(x)	1/√ 1-x²	x*asin(x) + √ 1-x²	↓
acos(x)	-1/√ 1-x²	x*acos(x) - √ 1-x²	↓
atan(x)	1/(1+x²)	x*atan(x) - ln(1+x²)/2	↓
acot(x)	-1/(1+x²)	x*acot(x) + ln(1+x²)/2	↓
asec(x)	1/(|x|*√ |x|-1 )	x*asec(x) - arcosh(|x|)	↓
acsc(x)	-1/(|x|*√ |x|-1 )	x*acsc(x) + arcosh(|x|)	↓

Hyperbelfunktionen

Funktion	Ableitung	Stammfunktion	Graph
sinh(x)	cosh(x)	cosh(x)	↓
cosh(x)	sinh(x)	sinh(x)	↓
tanh(x)	1-tanh(x)²	ln(cosh(x))	↓
coth(x)	1-coth(x)²	ln(|sinh(x)|)	↓
sech(x)	-sech(x)*tanh(x)	atan(sinh(x))	↓
csch(x)	-coth(x)*csch(x)	ln(|tanh(x/2)|)	↓
arsinh(x)	1/√ x²+1	x*arsinh(x) - √ x²+1	↓
arcosh(x)	1/√ x²-1	x*arcosh(x) - √ x²-1	↓
artanh(x)	1/(1-x²); |x|<1	x*artanh(x) + ln(1-x²)/2	↓
arcoth(x)	-1/(x²-1); |x|>1	x*arcoth(x) + ln(x²-1)/2	↓
arsech(x)	-1/(x*√ 1-x² )	x*arsech(x) - 2*atan(√ (1-x)/(1+x) )	↓
arcsch(x)	-1/(|x|*√ 1+x² )	x*arcsch(x) + arcoth(√ 1/x²+1 )	↓

Ableitung und Integral

Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung in jedem Punkt dieser Funktion. Es gibt zahlreiche Ableitungsregeln, welche das Ableiten sehr erleichtern. Die ursprüngliche Methode der Differentialrechnung mittels Differentialquotienten ist dagegen um einiges umständlicher. Eine bekannte Ableitungsregel besagt, dass die Ableitung von x hoch n gleich n mal x hoch n-1 ist. Daher ist die Ableitung des Sinusquadrats von x gleich der Sinus von 2x. Für die trigonometrischen Funktionen sind die Ableitungsregeln zumeist komplizierter, allerdings ist die Ableitung des Sinus der Kosinus und die Ableitung des Kosinus ist minus Sinus. Sinus und Kosinus sind ja ähnliche Funktionen, welche nur um π/2 auf der x-Achse gegeneinander verschoben sind. Sie sind also ähnlich ihrer eigenen Ableitung, dies ist ein Zusammenhang mit der Exponentialfunktion e^x, welche gleich ihrer Ableitung ist. Ein weiterer Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen π und e ergibt sich aus den Stammfunktionen einiger trigonometrischer Funktion, bei denen der natürliche Logarithmus ln auftaucht, also der Logarithmus zur Basis e.
Das Integral ist die Fläche zwischen x-Achse und einer Funktion und gleichzeitig das Gegenteil der Ableitung. Die Funktion des Integrals wird Stammfunktion genannt. Die Ableitung einer Stammfunktion ist also wieder die Funktion selber. Das Integrieren einer Funktion ist um einiges komplizierter als das Ableiten und für viele Funktionen ist gar keine algebraische Darstellung eines Funktionsterms der Stammfunktion möglich. Für die einfachen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen, welche hier angegeben sind, allerdings schon.

Graphen

Die Graphen von Funktion, Ableitung und Stammfunktion (Integral) der trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen in je einem Bild. Der Graph der jeweiligen Funktion f ist blau, der der Ableitung g ist rot und jener der Stammfunktion h ist grün. abs() in den Termen steht für die Betragsfunktion ||, sqr für die Wurzel √, ln ist der natürliche Logarithmus.

Trigonometrische Funktionen

Sinus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Kosinus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Tangens: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Kotangens: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Sekans: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Kosekans: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Sinusquadrat: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Kosinusquadrat: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Tangensquadrat: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Kotangensquadrat: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Sekansquadrat: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Kosekansquadrat: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Arkussinus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Arkuskosinus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Arkustangens: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Arkuskotangens: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Arkussekans: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Arkuskosekans: Funktion, Ableitung und Stammfunktion

Hyperbelfunktionen

Sinus hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Kosinus hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Tangens hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Kotangens hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Sekans hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Kosekans hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Areasinus hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Areakosinus hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Areatangens hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Areakotangens hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Areasekans hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


Areakosekans hyperbolicus: Funktion, Ableitung und Stammfunktion


This page in English: Derivative and Integral of Trigonometric and Hyperbolic Functions.


Zuletzt aktualisiert am 05.06.2025. Autor: Jürgen Kummer

Die Graphen wurden mit dem Zeichenprogramm für Funktionsgraphen erstellt.