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Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus geben die Längen der beiden Katheten (kürzeren Seiten) des rechtwinkligen Dreiecks in Bezug auf die Hypotenuse (längere Seite) wieder. Im Einheitskreis lassen sie sich darstellen als Abstand eines Punktes auf der Kreisbahn zur waagerechten und zur senkrechten Achse.


Hier ist ein kleiner Rechner, um Sinus und Kosinus auszurechnen. Einen Wert eingeben, die anderen werden berechnet.

° = π =

Sinus: Kosinus:

Runden auf    Nachkommastellen.


Sinus

Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse

Der Sinus des Winkels α, sin(α), berechnet sich aus der dem Mittelpunkt gegenüberliegenden Seite des Dreiecks (Gegenkathete) geteilt durch die längste Seite (Hypotenuse). Für die Hypotenuse und damit den Radius des Kreises wird die Standardlänge 1 angenommen, daher ist sin(α) hier gleich der Länge der Gegenkathete a.

Sinus

sin(α) kann Werte zwischen -1 und 1 annehmen.
→ Bei 0° ist es 0, in diesem Fall degeneriert das rechtwinklige Dreieck zur horizontalen Linie.
↑ Steigt der Winkel, dann steigt zunächst sin(α), bis es bei 90° bzw. π/2 (1.571) zu 1 wird, das rechtwinklige Dreieck wird zur vertikalen Linie.
← Über 90° fällt sin(α) wieder und wird bei 180° bzw. π (3.142) erneut zu 0.
↓Danach wird sin(α) negativ (das rechtwinklige Dreieck ist nach unten ausgerichtet), bei 270° bzw. 3/2π (4.712) ist es -1.
→ Bei 360° bzw. 2π ist der Kreis durchlaufen, der Zyklus fängt wieder von vorne an.

Der Graph der Sinusfunktion
Der Graph der Sinusfunktion.

Der Sinus hat Nullstellen bei n*π, Minima bei (2n-1/2)*π und Maxima bei (2n+1/2)*π, für n∈ℤ.



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Kosinus

Kosinus = Ankathete / Hypotenuse

Der Kosinus des Winkels α, cos(α), berechnet sich aus der am Mittelpunkt anliegenden Seite des Dreiecks (Ankathete) geteilt durch die längste Seite (Hypotenuse). Der Kosinus ist somit das Gegenstück zum Sinus.

Kosinus

Auch cos(α) kann Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Bei 0° ist es 1, bei 90° bzw. π/2 (1.571) ist cos(α) = 0, bei 180° bzw. π (3.142) ist cos(α) = -1 und bei 270° bzw. 3/2π (4.712) wieder 0. Undsoweiter.

Der Graph der Kosinusfunktion
Der Graph der Kosinusfunktion.

Der Kosinus hat Nullstellen bei (n+1/2)*π, Minima bei (2n-1)*π und Maxima bei 2n*π, für n∈ℤ.


Sinusfunktion und Kosinusfunktion im Vergleich
Sinusfunktion und Kosinusfunktion im Vergleich, auch für negative Werte.


Anwendung

Sinus und Kosinus braucht man, um Längen und Winkel von Dreiecken und daraus aufgebauten Figuren zu berechnen - also für sehr viele geometrische Formen. Die Graphen dieser Funktionen sind wellenförmig. Schwingungen und Wellen, wie Töne und Licht, lassen sich durch zusammengesetze Sinuswellen und Kosinuswellen beschreiben. Ein komplexeres Beispiel, welches beide Größen verwendet, ist die Berechnung des Erdradius.


Weiter

Die Verhältnisse von Sinus und Kosinus bezeichnet man als Tangens und Kotangens.



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Die Graphen wurden mit dem Zeichenprogramm für Funktionsgraphen erstellt.

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