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Weitere trigonometrische Funktionen: sinc, tanc, versus, ex-

Diese Funktionen werden aus den primären trigonometrischen Funktionen gebildet: Sinus cardinalis, tanc, Versusfunktionen, Exsekans und Exkosekans, Arkusfunktionen der Versus- und Ex-Funktionen.


Sinus cardinalis

Der Sinus cardinalis oder Kardinalsinus gewichtet den Sinus nach dem Funktionsargument. Bei dem nicht-normierten Sinus cardinalis, der si-Funktion, wird sin(x) durch x geteilt, bei der normierten Variante, sinc(x) wird sin(πx) durch πx geteilt.

Nicht-normierter Sinus cardinalis: si(x) = sin(x) / x
Normierter Sinus cardinalis: sinc(x) = sin(πx) / πx

Graphen von si und sinc
Die Graphen von si(x) (blau) und sinc(x) (rot).

Anwendung

Der Sinus cardinalis wird z.B. in der digitalen Signalverarbeitung verwendet. Die Beugung von Wellen an einem Spalt folgt dieser Funktion.


tanc

tanc wird aus dem Tangens analog zum Sinus cardinalis gebildet, ist aber keine Kardinalfunktion. tanc(x) = tan(x) / x

Graph von tanc
Der Graph von tanc(x).


Hier ist ein kleiner Rechner, um si, sinc und tanc auszurechnen.

Eingabewert:

si: sinc: tanc:

Runden auf    Nachkommastellen.



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Versusfunktionen

Die Versusfunktionen werden heute selten verwendet, man findet sie vor allem in alten Schriften. Der Sinus versus oder Versinus ist der Abstand vom Kosinus zum rechten Rand des Einheitskreises, der Sinus koversus oder Koversinus ist der Abstand vom Sinus zum oberen Rand des Einheitskreises. Kosinus versus und Kosinus koversus sind der Abstand zum linken bzw. unteren Rand. Sinus koversus und Kosinus versus werden häufig verwechselt!

Der Semiversus (engl. haversine) ist der halbe Sinus versus, der Semikoversus (engl. hacoversine) ist der halbe Sinus koversus. Für die anderen beiden halbierten Versusfunktionen gibt es keine deutschen Namen, auf englisch heißen sie havercosine und hacovercosine.

Sinus versus: versin(x) = 1 − cos(x) = sinver(x), vers(x), ver(x), siv(x)
Sinus koversus: coversin(x) = 1 − sin(x) = covers(x), cosiv(x), cvs(x)
Kosinus versus: vercosin(x) = 1 + cos(x) = vercos(x), vcs(x)
Kosinus koversus: covercosin(x) = 1 + sin(x) = covercos(x), cvc(x)
Semiversus: sem(x) = versin(x) / 2 = haversin(x), hvs(x), hav(x), hv(x)
Semikoversus: semicoversin(x) = coversin(x) / 2 = hacoversin(x), hacovers(x), hacov(x), hcv(x)
havercosine: havercosin(x) = vercosin(x) / 2 = havercos(x), hac(x), hvc(x)
hacovercosine: hacovercosin(x) = covercosin(x) / 2 = hacovercos((x), hcc(x)

Sinus versus und Sinus koversus
Sinus versus und Sinus koversus im Einheitskreis für gegenüberliegende Winkel.

Graphen von Sinus versus und Sinus koversus
Die Graphen von Sinus versus (blau) und Sinus koversus (rot).

Graphen von Kosinus versus und Kosinus koversus
Die Graphen von Kosinus versus (blau) und Kosinus koversus (rot).

Graphen von Semiversus und Semikoversus
Die Graphen von Semiversus (blau) und Semikoversus (rot).

Graphen von havercosine und hacovercosine
Die Graphen von havercosine (blau) und hacovercosine (rot).

Anwendung

Die Versusfunktionen kommen z.B. bei der Signalverarbeitung vor. Der Semiversus spielte eine wichtige Rolle in der Naviagtion von Schiffen nach den Sternen.



Hier ist ein kleiner Rechner, um Versusfunktionen auszurechnen. Einen Wert eingeben, die anderen werden berechnet.

° = π =

Sinus versus: Sinus koversus:

Kosinus versus: Kosinus koversus:

Semiversus: Semikoversus:

havercosine: hacovercosine:

Runden auf    Nachkommastellen.


Exsekans und Exkosekans

Exsekans und Exkosekans entsprechen den Längen von Sekans und Kosekans außerhalb des Einheitskreises. Auch sie sind kaum noch gebräuchlich.

Exsekans: exsec(x) = sec(x) − 1 = exs(x)
Exkosekans: excosec(x) = cosec(x) − 1 = excsc(x), exc(x)

Exsekans und Exkosekans
Exsekans und Exkosekans im Einheitskreis.

Graphen von Exsekans und Exkosekans
Die Graphen von Exsekans (blau) und Exkosekans (rot).

Anwendung

Exsekans und Exkosekans wurden vor allem in der Landvermessung angewendet.



Hier ist ein kleiner Rechner, um Exsekans und Exkosekans auszurechnen. Einen Wert eingeben, die anderen werden berechnet.

° = π =

Exsekans: Exkosekans:

Runden auf    Nachkommastellen.


Arkusfunktionen

Versusfunktionen und Ex-Funktionen haben Umkehrfunktionen in ihrem Monotoniebereich.

Arkussinus versus :aversin (x) = acos( 1 − x ) für x ∈ [0;2]
Arkussinus koversus :acoversin (x) = asin( 1 − x ) für x ∈ [0;2]
Arkuskosinus versus :avercosin (x) = acos( 1 + x ) für x ∈ [-2;0]
Arkuskosinus koversus :acovercosin (x) = asin( 1 + x ) für x ∈ [-2;0]
Arkussemiversus :asem(x) = 2 * asin( √x ) für x ∈ [0;1]
Arkushavercosine :ahavercosin(x) = 2 * acos( √x ) für x ∈ [0;1]
Arkusexsekans :aexsec(x) = asec( x + 1 ) für x ∈ ℜ \ ]-2;0[
Arkusexkosekans :aexcosec(x) = acosec( x + 1 ) für x ∈ ℜ \ ]-2;0[

Graphen von aversin und acoversin
Die Graphen von aversin(x) (blau) und acoversin(x) (rot).

Graphen von avercosin und acovercosin
Die Graphen von avercosin(x) (blau) und acovercosin(x) (rot).

Graphen von asem und ahavercosin
Die Graphen von asem(x) (blau) und ahavercosin(x) (rot).

Graphen von aexsec und aexcosec
Die Graphen von aexsec(x) (blau) und aexcosec(x) (rot).


Hier ist ein kleiner Rechner, um Arkusfunktionen von Versus- und Ex-Funktionen auszurechnen. Einen Wert eingeben, die Winkel in Radiant werden berechnet.

Eingabewert:

aversin: acoversin:

avercosin: acovercosin:

asem: ahavercosin:

aexsec: aexcosec:

Runden auf    Nachkommastellen.


Weiter

Bezieht man die trigonometrischen Funktionen nicht auf einen Kreis, sondern auf eine Hyperbel, erhält man die Hyperbelfunktionen.



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Die Graphen wurden mit dem Zeichenprogramm für Funktionsgraphen erstellt.

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