Weitere trigonometrische Funktionen: sinc, tanc, versus, ex-
Diese Funktionen werden aus den primären trigonometrischen Funktionen gebildet: Sinus cardinalis, tanc, Versusfunktionen, Exsekans und Exkosekans, Arkusfunktionen der Versus- und Ex-Funktionen.
Auf diese erweiterten trigonometrischen Funktionen wird man vermutlich nur sehr selten stoßen, sie können für Experten oder für Historiker aber interessant sein.
Sinus cardinalis
Der Sinus cardinalis oder Kardinalsinus gewichtet den Sinus nach dem Funktionsargument. Bei dem nicht-normierten Sinus cardinalis, der si-Funktion, wird sin(x) durch x geteilt, bei der normierten Variante, sinc(x) wird sin(πx) durch πx geteilt.
Die Definitionslücke bei x=0 ist durch y=1 schließbar.
| Nicht-normierter Sinus cardinalis: | si(x) | = sin(x) / x |
| Normierter Sinus cardinalis: | sinc(x) | = sin(πx) / πx |
Die Graphen von si(x) (blau) und sinc(x) (rot).
Anwendung
Der Sinus cardinalis wird z.B. in der digitalen Signalverarbeitung verwendet. Die Beugung von Wellen an einem Spalt folgt dieser Funktion.
tanc
tanc wird aus dem Tangens analog zum Sinus cardinalis gebildet, ist aber keine Kardinalfunktion.
Wer herausfindet, wo die tanc-Funktion verwendet wird, möge es mir bitte sagen. Interessant aussehen tut ihr Graph allemal.
Der Graph von tanc(x).
Hier ist ein kleiner Rechner, um si, sinc und tanc auszurechnen.
Versusfunktionen
Die Versusfunktionen werden heute selten verwendet, man findet sie vor allem in alten Schriften. Ihre sehr verwirrende Namensgebung trägt nicht gerade zu ihrer Popularität bei.
Der Sinus versus oder Versinus ist der Abstand vom Kosinus zum rechten Rand des Einheitskreises, der Sinus koversus oder Koversinus ist der Abstand vom Sinus zum oberen Rand des Einheitskreises. Kosinus versus und Kosinus koversus sind der Abstand zum linken bzw. unteren Rand. Sinus koversus und Kosinus versus werden häufig verwechselt!
Der Semiversus (engl. haversine) ist der halbe Sinus versus, der Semikoversus (engl. hacoversine) ist der halbe Sinus koversus. Für die anderen beiden halbierten Versusfunktionen gibt es keine deutschen Namen, auf englisch heißen sie havercosine und hacovercosine.
| Sinus versus: | versin(x) | = 1 − cos(x) | = sinver(x), vers(x), ver(x), siv(x) |
| Sinus koversus: | coversin(x) | = 1 − sin(x) | = covers(x), cosiv(x), cvs(x) |
| Kosinus versus: | vercosin(x) | = 1 + cos(x) | = vercos(x), vcs(x) |
| Kosinus koversus: | covercosin(x) | = 1 + sin(x) | = covercos(x), cvc(x) |
| Semiversus: | sem(x) | = versin(x) / 2 | = haversin(x), hvs(x), hav(x), hv(x) |
| Semikoversus: | semicoversin(x) | = coversin(x) / 2 | = hacoversin(x), hacovers(x), hacov(x), hcv(x) |
| havercosine: | havercosin(x) | = vercosin(x) / 2 | = havercos(x), hac(x), hvc(x) |
| hacovercosine: | hacovercosin(x) | = covercosin(x) / 2 | = hacovercos((x), hcc(x) |
Sinus versus und Sinus koversus im Einheitskreis für gegenüberliegende Winkel.
Die Graphen von Sinus versus (blau) und Sinus koversus (rot).
Die Graphen von Kosinus versus (blau) und Kosinus koversus (rot).
Die Graphen von Semiversus (blau) und Semikoversus (rot).
Die Graphen von havercosine (blau) und hacovercosine (rot).
Anwendung
Die Versusfunktionen kommen z.B. bei der Signalverarbeitung vor. Der Semiversus spielte eine wichtige Rolle in der Naviagtion von Schiffen nach den Sternen.
Hier ist ein kleiner Rechner, um Versusfunktionen auszurechnen. Einen Wert eingeben, die anderen werden berechnet.
Exsekans und Exkosekans
Exsekans und Exkosekans entsprechen den Längen von Sekans und Kosekans außerhalb des Einheitskreises. Auch sie sind kaum noch gebräuchlich.
| Exsekans: | exsec(x) | = sec(x) − 1 | = exs(x) |
| Exkosekans: | excosec(x) | = cosec(x) − 1 | = excsc(x), exc(x) |
Exsekans und Exkosekans im Einheitskreis.
Die Graphen von Exsekans (blau) und Exkosekans (rot).
Anwendung
Exsekans und Exkosekans wurden vor allem in der Landvermessung angewendet.
Hier ist ein kleiner Rechner, um Exsekans und Exkosekans auszurechnen. Einen Wert eingeben, die anderen werden berechnet.
Arkusfunktionen
Versusfunktionen und Ex-Funktionen haben Umkehrfunktionen in ihrem Monotoniebereich.
| Arkussinus versus : | aversin (x) | = acos( 1 − x ) | für x ∈ [0;2] |
| Arkussinus koversus : | acoversin (x) | = asin( 1 − x ) | für x ∈ [0;2] |
| Arkuskosinus versus : | avercosin (x) | = acos( 1 + x ) | für x ∈ [-2;0] |
| Arkuskosinus koversus : | acovercosin (x) | = asin( 1 + x ) | für x ∈ [-2;0] |
| Arkussemiversus : | asem(x) | = 2 * asin( √x ) | für x ∈ [0;1] |
| Arkushavercosine : | ahavercosin(x) | = 2 * acos( √x ) | für x ∈ [0;1] |
| Arkusexsekans : | aexsec(x) | = asec( x + 1 ) | für x ∈ ℜ \ ]-2;0[ |
| Arkusexkosekans : | aexcosec(x) | = acosec( x + 1 ) | für x ∈ ℜ \ ]-2;0[ |
Die Graphen von aversin(x) (blau) und acoversin(x) (rot).
Die Graphen von avercosin(x) (blau) und acovercosin(x) (rot).
Die Graphen von asem(x) (blau) und ahavercosin(x) (rot).
Die Graphen von aexsec(x) (blau) und aexcosec(x) (rot).
Hier ist ein kleiner Rechner, um Arkusfunktionen von Versus- und Ex-Funktionen auszurechnen. Einen Wert eingeben, die Winkel in Radiant werden berechnet.
Weiter
Bezieht man die trigonometrischen Funktionen nicht auf einen Kreis, sondern auf eine Hyperbel, erhält man die Hyperbelfunktionen.
Die Graphen wurden mit dem Zeichenprogramm für Funktionsgraphen erstellt.