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Trigonometrische Quadratfunktionen

Diese Funktionen sind die Quadrate der jeweiligen trigonometrischen Funktionen. Ihre Frequenz ist gegenüber Sinus und Kosinus bzw. Sekans und Kosekans verdoppelt (Periode halbiert auf π), jedoch gleich wie bei Tangens und Kotangens. Die Quadrate liefern stets positive Werte oder 0. Die Schreibweise ist:

Sinusquadrat: sin²(α) = [sin(α)]² = sin(α) * sin(α)
Kosinusquadrat: cos²(α) = [cos(α)]² = cos(α) * cos(α)
Tangensquadrat: tan²(α) = [tan(α)]² = tan(α) * tan(α)
Kotangensquadrat: cot²(α) = [cot(α)]² = cot(α) * cot(α)
Sekansquadrat: sec²(α) = [sec(α)]² = sec(α) * sec(α)
Kosekansquadrat: csc²(α) = [csc(α)]² = csc(α) * csc(α)

Quadratfunktionen

Die Funktion sin(x) (blau) und die Quadratfunktionen sin²(x) (rot) im Bereich [0;10].


Hier ist ein kleiner Rechner, um trigonometrische Quadratfunktionen auszurechnen. Einen Wert eingeben, die anderen werden berechnet.

° = π =

Sinusquadrat: Kosinusquadrat:

Tangensquadrat: Kotangensquadrat:

Sekansquadrat: Kosekansquadrat:

Runden auf    Nachkommastellen.



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Sinusquadrat und Kosinusquadrat

Sinusquadrat und Kosinusquadrat haben einen Wertebereich von [0;1]. Sinusquadrat hat Nullstellen und Minima bei n*π, Maxima bei (n+1/2)*π. Kosinusquadrat hat Nullstellen und Minima bei (n+1/2)*π, Maxima bei n*π. n∈ℤ. Beide sind zueinander spiegelbildlich zur Geraden y=1/2.

Sinusquadrat und Kosinusquadrat
Die Graphen von Sinusquadrat und Kosinusquadrat.

Tangensquadrat und Kotangensquadrat

Tangensquadrat und Kotangensquadrat haben einen Wertebereich von [0;∞[. Tangensquadrat hat Nullstellen und Minima bei n*π, Polstellen bei (n+1/2)*π. Kotangensquadrat hat Nullstellen und Minima bei (n+1/2)*π, Polstellen bei n*π. n∈ℤ.

Tangensquadrat und Kotangensquadrat
Die Graphen von Tangensquadrat und Kotangensquadrat.

Sekansquadrat und Kosekansquadrat

Sekansquadrat und Kosekansquadrat haben einen Wertebereich von [1;∞[, sie liegen um 1 höher als Tangensquadrat und Kotangensquadrat. Sekansquadrat hat Minima bei n*π, Polstellen bei (n+1/2)*π. Kosekansquadrat hat Nullstellen und Minima bei (n+1/2)*π, Polstellen bei n*π. n∈ℤ.

Sekansquadrat und Kosekansquadrat
Die Graphen von Sekansquadrat und Kosekansquadrat.

Trigonometrischer Pythagoras

Als trigonometrischen Pythagoras bezeichnet man den Ausdruck sin²(α) + cos²(α) = 1. Dies ist der Satz des Pythagoras, angewendet auf die trigonometrischen Funktionen im Einheitskreis. Weiterhin gelten 1 + tan²(α) = sec²(α) sowie 1 + cot²(α) = csc²(α).

Trigonometrischer Pythagoras Sinus und Kosinus
Trigonometrischer Pythagoras sin²(α) + cos²(α) = 1

Trigonometrischer Pythagoras Tangens und Sekans
Trigonometrischer Pythagoras 1 + tan²(α) = sec²(α)

Trigonometrischer Pythagoras Kotangens und Kosekans
Trigonometrischer Pythagoras 1 + cot²(α) = csc²(α)

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen der Quadratfunktionen sind der jeweilige Arkus der Wurzel.

FunktionUmkehrfunktion
sin²(x)asin(√x)
cos²(x)acos(√x)
tan²(x)atan(√x)
cot²(x)acot(√x)
sec²(x)asec(√x)
csc²(x)acsc(√x)

Umkehrfunktionen von Sinusquadrat und Kosinusquadrat
Die Umkehrfunktionen von Sinusquadrat und Kosinusquadrat sind im Intervall [0;1] definiert und haben einen Wertebereich von [0;π/2]. Die erste ist streng monoton steigend, die zweite ist streng monoton fallend. acos(√x) = π/2 - asin(√x)

Umkehrfunktionen von Tangensquadrat und Kotangensquadrat
Die Umkehrfunktionen von Tangensquadrat und Kotangensquadrat sind im Intervall [0;∞[ definiert und haben einen Wertebereich von [0;π/2]. Die erste ist streng monoton steigend, die zweite ist streng monoton fallend. acot(√x) = π/2 - atan(√x).

Umkehrfunktionen von Sekansquadrat und Kosekansquadrat
Die Umkehrfunktionen von Sekansquadrat und Kosekansquadrat sind im Intervall [1;∞[ definiert und haben einen Wertebereich von [0;π/2]. Die erste ist streng monoton steigend, die zweite ist streng monoton fallend. Sie liegen um 1 weiter rechts als Tangensquadrat und Kotangensquadrat. asec(√x) = atan(√x-1) und acsc(√x) = acot(√x-1).


Hier ist ein kleiner Rechner, um die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Quadratfunktionen auszurechnen. Einen Wert eingeben, die Winkel in Radiant werden berechnet.



asin(√x): acos(√x):

atan(√x): acot(√x):

asec(√x): acsc(√x):

Runden auf    Nachkommastellen.


Anwendung

Trigonometrische Quadratfunktionen tauchen relativ häufig auf. Ein Beispiel für Sinusquadrat und Kosinusquadrat findet man in der Berechnung des Rauminhaltes eines Antiprismas. Ein Kotangensquadrat steckt in der Schrägenhöhe einer regelmäßigen Pyramide. Ein Beispiel für den Anwendung des Kosekansquadrates ist die Höhe einer regelmäßigen Kuppel.


Weiter

Es gibt noch weitere trigonometrische Funktionen: Sinus cardinalis, tanc, Versus, Exsekans und Exkosekans.



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Die Graphen wurden mit dem Zeichenprogramm für Funktionsgraphen erstellt.

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