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Hyperbelfunktionen

Die "normalen" (zirkulären) trigonometrischen Funktionen beziehen sich auf das Dreieck im Einheitskreis. Dieser ist definiert durch die Vorschrift x² + y² = 1. Eine Einheitshyperbel hat die Formel x² − y² = 1. Aufgelöst nach y ergibt das die Relation y = ± √ x² − 1 , welche sich durch zwei Funktionen darstellen lässt. Wendet man die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans statt auf den Kreis auf die Hyperbel an, dann erhält man die entsprechenden Hyperbolicus-Funktionen. Diese definieren sich über die Fläche, nicht über den Winkel. Eine solche Definition ist aber auch bei den zirkulären trigonometrischen Funktionen möglich.

Hyperbel

Die Hyperbel, erzeugt durch die beiden Funktionen y = √ x² − 1 und y = −√ x² − 1 . Die Einheitshyperbel hat eine Definitionslücke bei ]-1;1[.

Die Hyperbelfunktionen lassen sich durch passende Integration in eine Exponetialschreibweise bringen, mit der dann gerechnet werden kann:

Sinus Hyperbolicus: sinh(x) = ( ex − e-x) / 2
Kosinus Hyperbolicus: cosh(x) = ( ex + e-x) / 2
Tangens Hyperbolicus: tanh(x) = 1 − 2 / ( e2x + 1 )= sinh(x) / cosh(x)
Kotangens Hyperbolicus: coth(x) = 1 + 2 / ( e2x − 1 )= cosh(x) / sinh(x)
Sekans Hyperbolicus: sech(x)= 2 / ( ex + e-x) = 1 / cosh(x)
Kosekans Hyperbolicus: csch(x)= 2 / ( ex − e-x) = 1 / sinh(x)

mit der Eulerschen Zahl e = 2,718281828459...


Hier ist ein kleiner Rechner, um Hyperbelfunktionen auszurechnen. Einen Wert eingeben, die anderen werden berechnet.

Eingabewert:

Sinus Hyperbolicus: Kosinus Hyperbolicus:

Tangens Hyperbolicus: Kotangens Hyperbolicus:

Sekans Hyperbolicus: Kosekans Hyperbolicus:

Runden auf    Nachkommastellen.



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Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

Sinus Hyperbolicus (sinh) und Kosinus Hyperbolicus (cosh) sind der Abstand des oberen Teils der Einheitshyperbel zur x- bzw. y-Achse, bei dem die Fläche A den entsprechenden Wert erreicht.

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

Sinus Hyperbolicus sinh und Kosinus Hyperbolicus cosh an der Einheitshyperbel. Für negative Funktionsargumente geht die Fläche nach links, sinh wird negativ, cosh bleibt positiv.


Der Graph von Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
Der Graph von Sinus Hyperbolicus (blau) und Kosinus Hyperbolicus (rot).

sinh ist streng monoton steigend, Definitionsbereich und Wertebereich sind ]-∞;∞[, er hat eine Nullstelle bei 0. cosh hat ein Minimum bei (0;1), sein Definitionsbereich ist ]-∞;∞[, sein Wertebereich [1;∞[. Er ist symmetrisch zur y-Achse.


Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus

Tangens Hyperbolicus (tanh) und Kotangens Hyperbolicus (coth) sind das Verhältnis aus sinh und cosh bzw. andersherum. Sie lassen sich nicht grafisch aus der Hyperbel ableiten.

Der Graph von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus
Der Graph von Tangens Hyperbolicus (blau) und Kotangens Hyperbolicus (rot)

tanh ist streng monoton steigend, sein Definitionsbereich ist ]-∞;∞[, sein Wertebereich ]-1;1[. Er hat eine Nullstelle bei 0. coth ist streng monoton fallend, sein Definitionsbereich ist ]-∞;0[ und ]0;∞[, sein Wertebereich ]-∞;-1[ und ]1;∞[. Bei 0 ist eine Polstelle. Beide Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.


Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus

Sekans Hyperbolicus (sech) und Kosekans Hyperbolicus (csch) sind die Kehrwerte von cosh und sinh. Auch sie lassen sich nicht grafisch aus der Hyperbel ableiten.

Der Graph von Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Der Graph von Sekans Hyperbolicus (blau) und Kosekans Hyperbolicus (rot)

sech hat einen Definitionsbereich von ]-∞;∞[ und einen Wertebereich von ]0;1]. Bei (0;1) ist ein Maximum. Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse. csch ist streng monoton fallend, sein Definitionsbereich ist ]-∞;0[ und ]0;∞[, sein Wertebereich ]-∞;0[ und ]0;∞[. Bei 0 ist eine Polstelle. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.


Anwendung

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus finden in der höheren Mathematik Verwendung, z.B. für bestimmte Differentialgleichungen und spezielle Lorentz-Transformationen. Für Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus gibt es einige sehr spezielle Anwendungen in der Physik.


Weiter

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind die Areafunktionen.



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Die Graphen wurden mit dem Zeichenprogramm für Funktionsgraphen erstellt.

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