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Zahlwerte


Kategorisierung und Darstellung von Zahlen, wie Zahlen geordnet werden und was ihre Werte bedeuten. ∞ heißt Unendlich, dies ist selber keine Zahl. ∈ bedeutet "ist Element von", ∉ bedeutet "ist kein Element von".



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Zahlenmengen

  • ℕ natürliche Zahlen, positive ganze Zahlen: 1, 2, 3, 4, ..., ∞. Beispiel: Anzahl der Ecken eines Vielecks
    • 0 natürliche Zahlen mit der 0, nichtnegative ganze Zahlen: 0, 1, 2, 3, 4, ..., ∞
  • ℤ ganze Zahlen, natürliche Zahlen und deren Erweiterung ins Negative: -∞, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., ∞. Beispiel: Laufvariable einer Summe
    • negative ganze Zahlen: -∞, ..., -3, -2, -1
    • 0 negative ganze Zahlen mit 0: -∞, ..., -3, -2, -1, 0
  • ℚ rationale Zahlen, Zahlen, die als Bruch bzw. Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. Enthält alle endlichen und periodischen Dezimalbrüche, z.B. 1/7 = 0,142857. 1/7 ∈ ℚ, 1/7 ∉ ℤ. Beispiel: Rechnen mit Brüchen
    • +, ℚ, ℚ0+, ℚ0 positive und negative rationale Zahlen, ohne und mit 0.
  • ℝ reelle Zahlen, diese lassen sich alle auf einer Geraden darstellen, dem Zahlenstrahl, der mit diesen Zahlen komplett gefüllt ist. Reelle Zahlen sind alle rationalen und irrationalen Zahlen. Irrationale Zahlen sind unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche, wie z.B. die Wurzel aus 2, √2 = 1,414213562373095... Transzendente Zahlen sind irrationale Zahlen, die sich nicht als Wurzel darstellen lassen, wie die Kreiszahl π und die Eulersche Zahl e. Die meisten mathematischen Berechnungen finden theoretisch mit reellen Zahlen statt, die in der Praxis oft zu rationalen Zahlen gerundet werden. Beispiel: Potenzrechnung
    • +, ℝ, ℝ0+, ℝ0 positive und negative reelle Zahlen, ohne und mit 0.
  • ℂ komplexe Zahlen. Diese befinden sich in einer Ebene, welche durch zwei Geraden definiert ist, durch den Zahlenstrahl der reelen Zahlen und senkrecht dazu durch die imaginären Zahlen. Die imaginären Zahlen sind reelle Zahlen multipliziert mit i = √-1. Komplexe Zahlen setzen sich zusammen aus Realteil ℜ und Imaginärteil ℑ, sie haben die Form a+bi, wobei a, b ∈ ℝ. Beispiel: Lösungen der quadratischen Gleichung



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Zahlensysteme

Wir rechnen meistens im Dezimalsystem, einem Zahlensystem mit der Basis zehn. Nach 9 wird die nächste Zahl 10 zweistellig und besteht aus zwei bereits verwendeten Ziffern, nach 99 kommt 100, was 10*10 entspricht, und so weiter.

Bei Uhrzeiten und Winkel werden Minuten und Sekunden im Sexagesimalsystem gezählt, also mit der Basis 60, wobei die Schreibweise der Zahlen jene des Dezimalsystems ist.

Das Binärsystem (Basis 2) ist die Basis für die Funktionsweise von Computern. Ein Bit kann zwei Werte haben, 0 oder 1, zwei Bit haben 00, 01, 10 oder 11, etc.

Das Hexadezimalsystem (Basis 16) wird beispielsweise für Angaben von RGB-Farbwerten verwendet. Rot, Grün und Blau kann Werte zwischen 0 und ff annehmen, dezimal zwischen 0 und 255.

Selten wird das Oktalsystem mit der Basis 8 verwendet, noch seltener Systeme mit anderen Basen. Hier kann man beliebige Zahlensysteme umrechnen.

Diese Systeme sind Stellenwertsysteme, welche sich gut zum Rechnen eignen. Im Gegensatz dazu stehen Additionssysteme, wie die Römischen Zahlen, die nur zum Zählen, aber nicht zum Rechnen geeignet sind.


Skalenniveaus

Zahlen werden oft in Verbindung mit realen Größen verwendet. Mit solchen Zahlen darf man nur jene Rechnungen durchführen, welche das Niveau der Skala erlaubt. Hier ist eine Übersicht der verschiedenen Skalenniveaus, ansteigend geordnet (also ordinalskaliert).

  • Nominalskala: die Zahl ist nur eine willkürliche Bezeichnung, ohne Bezug zu wirklichen Größen. Es sind keine Berechnungen erlaubt, nur Vergleiche ob gleich oder unterschiedlich. Meist werden natürliche Zahlen verwendet. Beispiel: Postleitzahlen
  • Ordinalskala: die Zahlen sind geordnet, ihr Verhältnis zueinander ist aber nicht definiert. Es sind keine Berechnungen erlaubt, nur Vergleiche wie größer und kleiner. Meist werden natürliche Zahlen verwendet. Beispiel: Schulnoten (bei denen oft unerlaubterweise ein Durchschnitt angegeben wird).
  • Intervallskala: die Zahlen sind geordnet und die Schritte zwischen zwei benachbarten Zahlen sind gleich groß, es gibt aber keinen echten Nullpunkt. Addition und Subtraktion sind erlaubt, Multiplikation und Division nicht. Beispiel: Grad Celsius und Fahrenheit
  • Verhältnisskala: die Zahlen sind geordnet, die Schritte zwischen zwei benachbarten Zahlen sind gleich groß, es gibt einen echten Nullpunkt. Mehrere Einheiten, die mittels eines Verhältniswertes ineinander umgerechnet werden können, sind möglich. Alle Rechenarten sind erlaubt. Beispiel: Länge
  • Absolutskala: Werte und Einheit ergeben sich zwingend aus der Vorgabe. Die Zahlen sind geordnet, die Schritte zwischen zwei benachbarten Zahlen sind gleich groß, es gibt einen echten Nullpunkt, alle Rechenarten sind erlaubt. Beispiel: Anzahl der Wochentage in einem Zeitraum


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