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Satz von Bayes - Rechner

Berechnen einer bedingten Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes. Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist P(A|B) lässt sich aus der umgekehrten Bedingung und den beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten für A und B berechnen.

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

Falls eine Spezifität angegeben wird, berechnet sich P(B) wie folgt:
P(B) = P(B|A) * P(A) + (1 – Spezifität) * (1 – P(A))

Spezifität:
P(A|B):
P(A):
P(B):
P(B|A):

Bitte bei drei Wahrscheinlichkeiten P Werte im Bereich ]0;1[ eingeben. Die vierte Wahrscheinlichkeit wird berechnet. Eine Spezifität kann bei Bedarf vorgegeben werden, dann kann P(B) frei gelassen werden.

Die Berechnung ist einfach, schwieriger ist es zu entscheiden, wann der Satz von Bayes angewendet werden kann.

Der Satz von Bayes ist ein zentrales Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie und ermöglicht es, vorhandenes Wissen über ein Ereignis zu aktualisieren, wenn neue Informationen vorliegen. Er verbindet die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung B mit der umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A. Nützlich ist dieser Satz insbesondere in Situationen, in denen direkte Beobachtungen schwer zugänglich sind, aber indirekte Informationen verfügbar sind.

Ein Beispiel aus der medizinischen Diagnostik:
Eingabewerte Spezifität: 0,95; P(A): 0,001; P(B|A): 0,99
Ergebnis P(B): 0,05094; P(A|B): 0,01943
Angenommen, ein medizinischer Test weist eine bestimmte Krankheit auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, wenn die Krankheit tatsächlich vorliegt (P(B|A) = 0,99). Die Wahrscheinlichkeit eines negativen Testergebnisses bei einer gesunden Person (Spezifität) beträgt 0,95, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses bei einer gesunden Person (P(B|¬A)) 0,05 beträgt. Die Prävalenz der Krankheit in der Bevölkerung (P(A)) sei 0,001.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, deren Test positiv ausfällt, tatsächlich krank ist (P(A|B)).
Mithilfe des Satzes von Bayes lässt sich diese Wahrscheinlichkeit berechnen:
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B).
Dabei setzt sich P(B) aus zwei Anteilen zusammen: den wahren Positiven (P(B|A) * P(A)) und den falschen Positiven (P(B|¬A) * P(¬A)).
Eingesetzt ergibt sich:
P(B) = (0,99 * 0,001) + (0,05 * 0,999) = 0,05094.
Damit ist:
P(A|B) = (0,99 * 0,001) / 0,05094 ≈ 0,01943.
Obwohl der Test eine hohe Sensitivität aufweist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis tatsächlich krank ist, nur etwa 1,96 %. Dieses Ergebnis verdeutlicht, wie stark das Testergebnis von der Prävalenz der Krankheit in der Bevölkerung abhängt.

Die Interpretation von Testergebnissen oder Beobachtungen muss also stets den Kontext berücksichtigen, vor allem die Basisrate des untersuchten Phänomens. Ohne diese Berücksichtigung können leicht fehlerhafte Schlussfolgerungen gezogen werden.

Zuletzt aktualisiert am 27.01.2026. Autor: Jürgen Kummer

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