Quartische Gleichung berechnen

Rechner für quartische Gleichungen, Gleichungen vierten Grades. Die vier Ergebnisse der Gleichung $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$ werden berechnet.
Eine solche Gleichung vierten Grades muss keine reelle Lösung haben. Alle Lösungen liegen in der komplexen Zahlenebene, davon können 0, 2 oder 4 reell sein. Bitte für jeden Koeffizienten a, b c, d und e einen Wert eingeben. Wird dieser weggelassen, dann wird a zu 1, die anderen zu 0 gesetzt. Die Formel wird in die Normalform umgewandelt, so dass der Parameter a von x⁴ gleich 1 ist. Die so erhaltene Gleichung besitzt dieselben Nullstellen wie die ursprüngliche.

Die Lösungen werden mit dem Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren berechnet. Dieses numerische Verfahren bestimmt alle vier Nullstellen gleichzeitig, indem zunächst vier komplexe Startwerte gewählt werden. Anschließend werden diese Werte schrittweise verbessert. In jedem Iterationsschritt wird jede Näherung weiter verbessert. Die Berechnung wird mehrfach wiederholt, bis die Ergebnisse ausreichend genau sind. Die Anzahl der maximalen Iterationen kann geändert werden. Der Standardwert von 1000 Iterationen ist für die meisten Gleichungen ausreichend und wird noch sehr schnell berechnet.

Für jede Näherung wird der Wert des Polynoms neu berechnet. Ist dieser Wert ungleich Null, handelt es sich noch nicht um eine exakte Nullstelle. Aus dem Polynomwert und den Abständen zu den anderen Näherungen wird eine Korrektur berechnet, die den Wert näher an die tatsächliche Nullstelle verschiebt. Die Korrektur erfolgt nach der Formel

$$z_{i,\text{neu}}=z_i-\frac{f\left(z_i\right)}{\prod _{j\ne i}(z_i-z_j)}$$
Dabei ist f(z) das Polynom und z_i die aktuelle Näherung für die i-te Nullstelle. z_j durchläuft die anderen Nullstellen. Das Produkt im Nenner enthält die Differenzen zwischen der aktuellen Näherung und allen übrigen Näherungen.

Für Gleichungen vierten Grades gibt es auch exakte Lösungsformeln. Die benötigten Ausdrücke sind jedoch sehr umfangreich und numerisch empfindlich. Schon kleine Rundungsfehler können dabei zu ungenauen Ergebnissen führen. Das hier verwendete W-(D-K)-Verfahren ist in der Praxis meist robuster.

Das Verfahren eignet sich auch für Gleichungen höheren Grades. Für allgemeine Gleichungen fünften und höheren Grades existieren keine exakten Lösungsformeln, die nur die Grundrechenarten und Wurzelziehungen verwenden. Numerische Verfahren wie das W-(D-K)-Verfahren können solche Gleichungen dennoch näherungsweise lösen.