Potenzen umrechnen

Umrechnen der Basis von Potenzen, Berechnung des sich daraus ergebenden Exponenten, und umgekehrt. Die Basis einer Potenz gibt an, wie schnell die Werte mit jedem Schritt wachsen. Bei einer Zwei als Basis verdoppelt sich der Wert, wenn der Exponent um 1 erhöht wird, bei einer Zehn verzehnfacht er sich. Funktionen der Form a^x mit dem Parameter a und der veränderlichen Variablen x nennt man Exponentialfunktionen. Diese zeichnen sich durch extrem schnelles Wachstum aus und werden für viele praktische und theoretische Anwendungen in der Mathematik benötigt. Zehnerpotenzen nutzen wir beispielsweise zur Notation von Zahlen im Dezimalsystem.

Hier können einzelne Potenzwerte der Form c * a^x in solche der Form d * b^y umgerechnet werden. Die Multiplikatoren c und d sind auf den Standardwert 1 gesetzt. Die Basis a sowie der Exponent x muss eingegeben werden, dazu entweder b oder y um den Exponenten y oder die Basis b zu berechnen. Als Basis für a und b kann auch e für die Eulersche Zahl eingegeben werden, oder auch Ausdrücke wie 2*e (mit *, nicht 2e). Diese werden intern in Zahlenwerte umgewandelt, die Ausgabe von b und y erfolgt als Dezimalbruch.

	Wert 1
Parameter c:
Basis a:
Exponent x:
	Wert 2
Parameter d:
Basis b:
Exponent y:

Runden auf Nachkommastellen.

Die Formeln für die Berechnung lauten:
y=ln((c*a^x)/d) / ln(b)
b=((c*a^x)/d)^(1/y)
mit dem natürlichen Logarithmus ln und ^ als hoch. Anstatt des natürlichen Logarithmus ln, also dem zur Basis e, kann man hier auch einen Logarithmus zu einer anderen Basis verwenden, solange es für Zähler und Nenner die gleiche ist.

Ein Beispiel aus der Physik ist der radioaktive Zerfall, beschrieben durch die Gleichung N(t) = N₀*e^(-λ*t), wobei N₀ die Anfangsmenge, λ die Zerfallskonstante, t die Zeit und N(t) die verbleibende Menge nach der Zeit t ist. Angenommen N₀ = 1000 Teilchen, λ = 0,1 s^-1 und t = 10 s, dann gilt N(t) = 1000*e^(-0,1*10) = 1000*e^(-1) ≈ 367,9. Man möchte dies in die Form d*b^y umrechnen, zum Beispiel mit Basis 10. Gegeben sind c = 1000, a = e, x = -1 (weil x = λ*t negativ ist), d = 1 und b = 10, gesucht ist der Exponent y. Mit der Formel y = ln((c*a^x)/d) / ln(b) ergibt sich y = ln(1000*e^-1 / 1) / ln(10) = (ln(1000) - ln(e)) / ln(10) ≈ (6,9078 - 1) / 2,3026 ≈ 2,566. Somit gilt N(t) ≈ 1*10^2,566 ≈ 367,9, was exakt mit dem ursprünglichen Wert übereinstimmt.
Die Basis e ist die mathematisch übliche und sinnvolle, aber sie ist wenig anschaulich, im Gegensatz zu der Basis 10, mit der wir umzugehen gewohnt sind. Dies kann ein Grund für derartige Umrechnungen sein.
Werte für dieses Beispiel: c = 1000, a = e, x = -1, d = 1, b = 10