Komplexe Potenzen

Rechner für Potenzrechnung mit komplexen Zahlen als Basis und/oder Exponent. Eine solche Rechnung hat die Form x^y = z, mit x, y, z ∈ ℂ. Bitte von Basis und Exponent jeweils den Realteil ℜ und den Imaginärteil ℑ, sofern vorhanden, angeben. Wenn einer dieser vier Werte nicht angegeben wird, dann wird dieser als 0 angenommen. Die Ausgabe des Ergebnisses erfolgt einmal als Realteil und Imaginärteil getrennt, einmal als komplexe Zahl der Form a + bi und schließlich als Betrag dieser komplexen Zahl, letztere ist eine positive reelle Zahl. Als Eingabe sind Zahlenwerte und die beiden reellen Zahlen e und pi erlaubt.

• Jede Zahl, außer der Null selber, hoch 0 ergibt 1. Was 0⁰ ergibt ist eine Definitionssache, hier wird 1 als Ergebnis ausgegeben.
• Jede reelle Zahl hoch einer imaginären Zahl, also hoch einer komplexen Zahl ohne Realteil, ergibt eine komplexe Zahl, deren Betrag 1 ist. Wenn also oben das erste und das vierte Feld Werte ungleich Null enthalten, die anderen beiden nicht. Der Imaginärteil im Exponenten ändert in diesem Fall nur die Richtung des Ergebnisses auf der imaginären Ebene, nicht deren Abstand vom Nullpunkt. Für Zahlen mit Imaginärteil in der Basis gilt das nicht!

Eulersche Identität

• Wenn die reelle Zahl als Basis die Eulersche Zahl e ist und die imaginäre Zahl als Exponent i mal die Kreiszahl pi ist, dann ist das Ergebnis -1. Dies ist die sogenannte Eulersche Identität, e^iπ=−1. Oft wird sie als e^iπ+1=0 geschrieben, damit hat man die fünf wichtigsten Zahlen der Mathematik in einer einzigen Formel, die auch oft die schönste Formel der Welt genannt wird.
Der Grund, warum das für die Basis e gilt, ist etwas kompliziert. In Kürze geht es so: eine komplexe Zahl lässt sich durch Länge und Richtung eines vom Nullpunkt ausgehenden Vektors beschreiben. Aus der Richtung dieses Vektors lassen sich Sinus und Kosinus berechnen. Sowohl von Sinus und Kosinus, als auch von der Exponentialfunktion e^x, gibt es Taylor-Entwicklungen. Die Taylor-Entwicklung von e^x lässt sich aus den Taylor-Entwicklungen von sin(x) und cos(x) zusammensetzen und benötigt dafür einen weiteren Faktor. Dieser Faktor ist die imaginäre Einheit i. Der Gleichung ist e^ix=cos(x) + i*sin(x), dies ist die Eulersche Formel. Wenn man nun π für x einsetzt erhält man -1 für cos(π) und 0 für sin(π), also e^iπ=-1+0.

Siehe auch Umwandlung und Grundrechenarten bei Komplexen Zahlen.