Euler-Winkel und Quaternionen berechnen

Umrechnen von Euler-Winkeln und Quaternionen, sowie Visualisierung der entsprechenden dreidimensionalen Drehungen. Dieser Rechner funktioniert in beide Richtungen, es wird jeweils eine Grafik erzeugt, wie sich die drei Achsen im Raum drehen. Voreingestellt ist die Berechnung eines Quaternions aus den Euler-Winkeln. Hier bitte die drei Winkel in Grad angeben und die Reihenfolge der Berechnung auswählen. Bei der umgekehrten Berechnung die vier Werte des Quaternions eingeben. Es werden die Euler-Winkel für die Reihenfolge xyz berechnet. Der mathematische Hintergrund ist kompliziert, etwas Erklärung dazu findet sich unter dem Rechner und 3D-Visualisierer.
Die x-Achse wird blau gezeichnet, die y-Achse rot und die z-Achse gelb. Wenn die Achse gestrichelt ist, dann zeigt sie vom Betrachter weg. Je kürzer die Achse ist, desto mehr zeigt sie in Richtung Betrachter oder genau entgegengesetzt, am längsten sind Achsen senkrecht zur Betrachtungsrichtung. Achsen in Betrachtungsrichtung sind nicht zu sehen.

Im Folgenden eine sehr vereinfachte Erklärung der mathematischen Zusammenhänge:
Euler-Winkel beschreiben die Orientierung im Raum. Der Winkel α dreht sich um die x-Achse, β um die y-Achse und γ um die z-Achse. Eine Änderung von α bewirkt ein Rollen, von β ein Nicken und von γ ein Gieren. Diese Begriffe werden so in der Luftfahrt verwendet. Wenn man sich ein Flugzeug vorstellt, dann gehen beim Rollen die Flügel nach oben beziehungsweise unten. Beim Nicken geht die Nase und das Heck nach oben beziehungsweise unten. Bei einer Gierung dreht sich die Nase und das Heck nach links beziehungsweise rechts.
Quaternionen sind vierdimensionale Zahlen, die 1843 von William Rowan Hamilton entdeckt wurden. Sie verallgemeinern die zweidimensionalen komplexe Zahlen auf vier Dimensionen. Allerdings gilt bei Quaternionen die Multiplikation nicht kommutativ. Deshalb ist die Reihenfolge, in der die Winkel angewendet werden, für deren Berechnung wichtig. Quaternionen werden vor allem zur Beschreibung von Rotationen im 3D-Raum genutzt. Quaternionen vermeiden Probleme wie Gimbal Lock, die bei Euler-Winkeln auftreten können.
Gimbal Lock oder kardanische Blockade tritt auf, wenn zwei der drei Achsen eines Euler-Winkel-Systems in einer Linie liegen. In diesem Fall verliert man einen Freiheitsgrad der Drehung, und bestimmte Richtungen können nicht mehr unabhängig gesteuert werden. Quaternionen vermeiden dieses Problem, da sie die Orientierung im Raum ohne Achsenfolge darstellen und keine singularen Positionen wie diese besitzen.