Schräger Kegelschnitt - Rechner

Name: Schräger Kegelschnitt - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen bei einem schrägen Kegelschnitt. Wenn ein gerader Kreiskegel schräg durch seine Mantelfläche geschnitten wird, so dass die Schnittfläche eine Ellipse bildet, dann entstehen zwei unterschiedliche Teile, ein schiefer Ellipsenkegel und ein schräger Kegelstumpf. Der Ellipsenkegel enthält die Spitze des ursprünglichen Kegels, der Kegelstumpf dessen Basis. Die elliptische Schnittfläche kann berechnet werden, ebenso das Volumen der beiden Teile. Der Flächeninhalt der Mantelfläche lässt sich hingegen nicht mit elementaren Funktionen berechnen. Hierfür benötigt man elliptische Integrale, die numerisch näherungsweise ausgewertet werden müssen.
Geben Sie Radius und Höhe des Kegels ein, sowie die Höhe des Schnittpunktes der Schnittebene mit der Kegelachse über der Kegelbasis und deren Winkel. Runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. Winkel bitte in Grad angeben, hier kann man Winkel umrechnen.
Der Neigungswinkel der Schnittebene darf nicht so groß sein, dass die vollständige elliptische Schnittfläche über die Mantelfläche des Kegels hinausreicht. Dieser Winkel wird so begrenzt, dass die Schnittfläche die Grundfläche des Kegels nicht schneidet. Mathematisch ausgedrückt muss gelten: |tan(α)|<s/r

Formeln:

a = \frac{r (h - s)}{h \cdot \cos (α) \cdot [1 - \frac{r^{2} \cdot \tan^{2} (α)}{h^{2}}]}

b = \frac{r (h - s)}{h \cdot \sqrt{1 - \frac{r^{2} \cdot \tan^{2} (α)}{h^{2}}}}

E = π \cdot a \cdot b

V_{1} = \frac{π r^{2} \cdot {(h - s)}^{3}}{3 h^{2} \cdot {[1 - \frac{r^{2} \cdot \tan^{2} (α)}{h^{2}}]}^{\frac{3}{2}}}

V_{2} = \frac{π r^{2} h}{3} - V_{1}

Quelle für die Formeln: Frego, M.; Consonni, C.: Volume-Preserving Shear Transformation of an Elliptical Slant Cone to a Right Cone, Axioms 13 (2024), 245
Die Formeln für a, b und V₁ wurden aus den in der Quelle angegebenen Formeln für einen schiefen Ellipsenkegel durch Umrechnung der Parameter c, m, q in h, r, α, s abgeleitet. E ergibt sich aus der bekannten Formel für den Flächeninhalt einer Ellipse. Das Volumen des Kegelstumpfs V₂ wird berechnet, indem man das Volumen des schiefen Ellipsenkegels vom Volumen des gesamten Kegels abzieht.
Laut Frego und Consonni ist das Volumen des schiefen Ellipsenkegels gleich dem Volumen eines geraden Kegels mit derselben elliptischen Grundfläche und einer Höhe, die dem senkrechten Abstand von der Kegelspitze zur Schnittebene entspricht. Also gleich einem elliptischen Kegel mit gleichen Halbachsen a und b und der Höhe (h-s)*cos(α).

Radius, Höhen und Halbachsen haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), die Ellipsenflächen haben diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter).

Die Kegelschnitte werden seit der griechischen Antike erforscht. Dabei ist die Ellipse der einzige geschlossene, nicht triviale Kegelschnitt. Die beiden durch einen solchen Schnitt erzeugten Teile sind allein schon aufgrund ihrer Herkunft aus einer gängigen geometrischen Form und ihrer Entstehung durch das seit langem bekannte Verfahren der Kegelschnitte von Interesse.

Berechnung von Volumen und weiteren Größen: Schräger Kegelschnitt

Zuletzt aktualisiert am 25.08.2026. Autor: Jürgen Kummer

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