Polyeder

Name: Polyeder - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Über dreidimensionale geometrische Objekte mit geraden Kanten und Flächen: Polyeder

Polyeder bedeutet Vielflächner. Diese Formen sind ausschließlich durch Polygone begrenzt, sie haben nirgendwo eine Krümmung. Die Anzahl der möglichen Polyeder ist unendlich groß. Sie lassen sich je nach ihren Eigenschaften in verschiedene Kategorien unterteilen. Eine wichtige derartige Eigenschaft ist ob ein Körper konvex oder nicht-konvex ist. Nicht-konvexe Polyeder besitzen konkave Kantenwinkel, einspringende Bereiche, also solche die nach innen gerichtet sind. Beispiele hierfür sind die Sternkörper wie das Sterntetraeder. Ein weiteres Merkmal zur Klassifizierung ist die Regelmäßigkeit dieser Formen. Konvexe Körper mit vollständiger Regelmäßigkeit sind die platonischen Körper, von denen es exakt fünf gibt. Weniger Regelmäßigkeit besitzen die 13 archimedischen Körper und die aus ihnen abgeleiteten catalanischen Körper. Diese haben hier jeweils eigene Kategorien, ebenso wie die Johnson-Körper. Letztere werden wie die platonischen und archimedischen Körper von regelmäßigen Polygonen begrenzt, dies ist auch bei Prismen und Antiprismen aus dieser Kategorie möglich. Die einfachste Form in dieser Liste ist die des Quaders, welcher ein Spezialfall eines Prismas und eines Rhomboeders ist. Der Rhomboeder ist wiederum ein Spezialfall eines Parallelepipeds. Bekannte polyedrische Formen sind auch die Pyramiden, insbesondere natürlich die regelmäßige Quadratpyramide. Tendenziell wird die Berechnung der Polyeder mit einer wachsenden Anzahl von unterschiedlichen Flächen und nicht-rechtwinkligen Flächenwinkeln immer komplizierter. Als Beispiel sei hier das allgemeine Tetraeder genannt, welches mit nur vier unregelmäßigen Flächen bereits sehr lange Formeln für die Berechnung von Oberfläche und Volumen benötigt.
Für alle konvexen Polyeder gilt die Euler-Formel: die Anzahl der Ecken plus die Anzahl der Flächen minus die Anzahl der Kanten ergibt stets zwei, E+F−K=2.