Kugelschnittrechteck - Rechner

Berechnungen bei einem hier so genannten Kugelschnittrechteck. Eine solche Form entsteht, wenn ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b so durch eine größere Kugel mit dem Radius r geführt wird, dass sich der Mittelpunkt des Rechtecks in die Richtung des Mittelpunktes der Kugel bewegt. Wie eine mittig aufgesetzte rechteckige Ausstechform. Das Kugelschnittrechteck ist einer der beiden identischen ausgeschnittenen Teile der Kugeloberfläche. Die Rechteckseite a erzeugt die Kugelschnittseite m, die Rechteckseite b erzeugt die Kugelschnittseite n. Ein solches Kugelschnittrechteck hat Ecken mit weniger als 90 Grad, auch wenn das in der Draufsicht wegen perspektivischer Verzerrung nicht erkennbar ist. Mehr als 90 Grad haben hingegen die Ecken des bekannteren Kugelrechtecks.
Bitte den Radius der Kugel und die Seitenlängen des schneidenden Rechtecks angeben, die anderen Werte werden berechnet.

	Radius der Kugel (r):
	Rechteckseite a:
	Rechteckseite b:
	Radius Kleinkreis rm:
	Radius Kleinkreis rn:
	Kugelschnittseite m:
	Kugelschnittseite n:
	Bogendiagonale (d):
	Eckenwinkel (α):
	Umfang (u):
	Flächeninhalt (A):
	Runden auf   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15   Nachkommastellen.

Radius, Längen, Diagonale und Umfang haben eine eindimensionale Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter). Das Kugelschnittrechteck ist zweidimensional, erstreckt sich aber in drei Dimensionen, es ist Teil der sphärischen Geometrie.

Die Kugelschnittseiten liegen nicht auf Großkreisen, sondern auf Kleinkreisen mit einem kleineren Radius als r. Zusammen mit den entsprechenden Seiten des Rechtecks bilden sie ein Kreissegment mit dem Radius r_m beziehungsweise r_n. Die Radien der Kleinkreise ergeben sich aus dem Satz des Pythagoras. Der Mittelpunkt eines Kleinkreises hat vom Mittelpunkt der Kugel den halben Abstand der jeweils anderen Rechteckseite. Die Länge der Kugelschnittseite ist die Länge des Kreisbogens, der durch die entsprechende Sehne des Kleinkreises bestimmt wird. Die beiden Diagonalen des Kugelschnittrechtecks sind gleich lang, sie verlaufen entlang von Großkreisen der Kugel.
Die Formel für den Flächeninhalt des Kugelschnittrechtecks wird aus dem Flächenelement der Kugeloberfläche hergeleitet und berücksichtigt die Krümmung der Kugel. Für kleine Rechtecke nähert sich der Flächeninhalt dem Flächeninhalt a*b des ebenen Rechtecks an.
Diese mit Hilfe von KI hergeleiteten Formeln wurden mit mehreren Methoden geprüft. Dazu wurden die geometrischen Zusammenhänge unabhängig über Koordinaten und die Eigenschaften der Kugel und ihrer Schnittkreise berechnet. Der Flächeninhalt wurde zusätzlich mit zwei unterschiedlichen Oberflächenintegralen numerisch bestimmt. Die Ergebnisse wurden mit verschiedenen Werten für Radius und Seitenlängen sowie anhand von Grenzfällen überprüft.

Herleitung des Flächeninhalts

Die Kugeloberfläche lässt sich über der xy-Ebene als $$z^2=r^2-x^2-y^2$$ und damit für die obere Kugelhälfte als $$z=\sqrt{r^2-x^2-y^2}$$ darstellen. Für das Kugelschnittrechteck gelten die Grenzen $$-\frac{a}{2}\le x\le \frac{a}{2},-\frac{b}{2}\le y\le \frac{b}{2}$$ Das Flächenelement einer Fläche z = f(x,y) lautet $$dA=\sqrt{1+{\frac{\partial z}{\partial x}}^2+{\frac{\partial z}{\partial y}}^2}dxdy$$ und ergibt für die Kugeloberfläche $$dA=\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}dxdy$$ Wegen der Symmetrie genügt die Berechnung über ein Viertel der Fläche. Daher gilt $$A=4r{\int }_0^{\frac{a}{2}}{\int }_0^{\frac{b}{2}}\frac{dydx}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}$$ Das innere Integral lässt sich unmittelbar auswerten und liefert $$A=4r{\int }_0^{\frac{a}{2}}arcsin\left(\frac{b}{2\sqrt{r^2-x^2}}\right)dx$$ Das verbleibende Integral wird durch partielle Integration ausgewertet. Mit $$u=arcsin\left(\frac{b}{2\sqrt{r^2-x^2}}\right),dv=dx$$ ergibt sich nach Vereinfachung und Einsetzen der Grenzen obige geschlossene Formel für den Flächeninhalt des Kugelschnittrechtecks.

Berechnung von Fläche und weiteren Größen: kugelschnittrechteck

Zuletzt aktualisiert am 12.08.2026. Autor: Jürgen Kummer

Alle Angaben ohne Gewähr | Glossar | © Jumk.de Webprojekte | Rechneronline





↑ hoch

---