Regelmäßiges konkaves Vieleck - Rechner

Name: Regelmäßiges konkaves Vieleck - Geometrie-Rechner
Author: Jürgen Kummer

Berechnungen bei einem regelmäßigen konkaven Vieleck, n-Eck oder regelmäßigen konkaven Polygon. Dies kann aus einem konvexen regelmäßigen Vieleck mit einer geraden Anzahl an Ecken, welche mindestens acht beträgt, gebildet werden. Bei diesem wird jede zweite Ecke nach innen geklappt. Damit entsteht ein Polygonstern, bei dem die Zacken umso kürzer und stumpfer sind, je mehr es werden. Ebenso wie das konvexe regelmäßige Polygon nähert sich das konkave mit einer steigenden Anzahl an Ecken immer mehr dem Kreis an.
Der korrekte Name ist eher alternierendes nicht-konvexes Vieleck. Diese Form hat genauso viele konkave wie konvexe Ecken. Konkaves Vieleck ist eine Vereinfachung.
Geben Sie Seitenlänge und die Anzahl der Ecken ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. Die Ausgabe des Winkels erfolgt in Grad, hier kann man Winkel umrechnen.

Formeln:

u = a \cdot n

c = a \cdot \frac{\sin (π \cdot \frac{2}{n})}{\sin (\frac{π}{n})}

A = n \cdot [\frac{a^{2}}{4 \cdot \tan (\frac{π}{n})} - \sqrt{\frac{4 \cdot a^{2} - c^{2}}{4}} \cdot \frac{c}{2}]

α = 180 ° - \frac{1080}{n} °

β = 180 ° - \frac{360}{n} °

Kreiszahl pi:

π = 3.141592653589793...

Seitenlänge, Sehne und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).

Die Zackensehne c ist die Sehne zwischen zwei benachbarten konvexen Ecken, also zwischen zwei benachbarten Spitzen des Sterns. Diese ist identisch mit der kurzen Diagonalen d₂ des regelmäßigen konvexen Vielecks. Der Umfang des konkaven und konvexen Vielecks ist der gleiche. Der Flächeninhalt des konkaven Vielecks berechnet sich aus dem des konvexen minus n mal der Flächeninhalt der nach innen geklappten Ecken. Diese sind gleichschenklige Dreiecke mit der Seitenlänge a und der Basis c. Zwischen den beiden Formen liegen n/2 gleiche Rauten mit Seitenlänge a und dem Winkel β.
Der Umkreisradius des konkaven Vielecks entspricht dem Inkreisradius des konvexen Vielecks. Die großen Diagonalen, also die über n/2 Kanten und gegenüberliegende Zacken, sind bei beiden Polygonen gleich. Der Winkel der nach innen weisenden Ecken des konkaven Vielecks β ist der gleiche wie jener der nach außen gehenden Ecken des konvexen Vielecks (dort α), nur in die entgegengesetzte Richtung.

Dieses konkave Vieleck ist punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt und achsensymmetrisch zu den n/2 Achsen durch die Spitzen und n/2 Achsen durch die nach innen gehenden Ecken. Es ist drehsymmetrisch bei einem Winkel von 720°/n.

Zuletzt aktualisiert am 14.07.2026. Autor: Jürgen Kummer

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