Berechnungen bei einer Kettenkuppel oder dem Rotationskörper einer Kettenlinie. Gebildet wird diese Form aus einem Kettenbogen mit der zu Grunde liegenden Katenarie der Form y=a*cosh(x/a) im Intervall x ∈ [ -b ; b ], welches um seine Höhe rotiert und der schließenden Deckfläche.
Geben Sie den Formparameter a (a>0) und den maximalen Eingabewert b (entspricht dem Radius des Kreises der Deckfläche) ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
h = a * [ cosh(b/a) - 1 ]
M = 2 * π * a * [ b * sinh(b/a) - a * cosh(b/a) + a ]
A = M + π * b²
V = π * a * [ ( b² + 2 * a² ) * cosh(b/a) - 2 * a * b * sinh(b/a) - 2 * a² ]
Kreiszahl pi:
π = 3.141592653589793...
Formparameter, Radius a und Höhe haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), Mantelfläche und Oberfläche haben diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter). Das Verhältnis A/V hat diese Einheit -1.
Eine solche Kettenkuppel ohne oben abschließende Kreisfläche kann man auch als Schüssel bezeichnen. In der Architektur wird diese Form für Gewölbe und, wie der Name sagt, Kuppeln verwendet. Tatsächlich ist der Begriff Kettenkuppel eher einer aus der Architektur. Rotationskörper einer Kettenlinie ist dagegen der korrekte mathematische Begriff, dieser ist aber sperriger und weniger selbsterklärend.
Die Kettenkuppel wird durch die Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus (sinh) und Cosinus Hyperbolicus (cosh) beschrieben. Sie ist ein Rotationskörper, ist also rotationssymmetrisch um ihre Höhenachse und spiegelsymmetrisch zu jeder Ebene, in welche diese Achse liegt.
Wie ein Paraboloid und im Gegensatz zu einer Halbkugel besitzt die Kettenkuppel keine konstante Krümmung, sondern eine Krümmung, welche vom Scheitelpunkt zum Rand hin stetig zunimmt. Dadurch ist ihr Volumen im Verhältnis zur Höhe und zum Basisradius etwas kleiner als das einer entsprechenden Kugelkalotte, während ihre Oberfläche größer ist. Diese Eigenschaft kann bei manchen technischen Anwendungen von Vorteil sein, etwa wenn eine große Oberfläche bei begrenztem Volumen benötigt wird, wie bei Reflektoren oder bestimmten architektonischen Konstruktionen.