Berechnungen bei einem geraden Kettenbogen oder Kettenliniensegment. Dies ist eine Figur, welche von einer Kettenlinie oder Katenoide der Form y=a*cosh(x/a) im Intervall x ∈ [ -b ; b ] und der schließenden Geraden gebildet wird. cosh ist der Kosinus Hyperbolicus, die gebogene Linie verläuft also hyperbolisch.
Geben Sie den Formparameter a (a>0) und den maximalen Eingabewert b (entspricht der halben Spannweite) ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen. Der Parameter a bestimmt die Krümmung der Kettenlinie. Je größer a, desto flacher verläuft die Kurve.
Formeln:
l = 2a * sinh(b/a)
s = 2b
h = a * [ cosh(b/a) - 1 ]
u = l + s
A = 2a * [ b * cosh(b/a) - a * sinh(b/a) ]
Formparameter a, Eingabewert b, Höhe, Kettenbogenlänge, Sehnenlänge und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Die Kettenlinie beschreibt die Form einer ideal flexiblen, homogenen Kette, die unter ihrem eigenen Gewicht an zwei Punkten aufgehängt ist. Wird diese Form umgekehrt verwendet, entsteht ein Kettenbogen, der in der Architektur eingesetzt wird, da er Druckkräfte optimal ableitet und sehr stabil ist. Prominente Beispiele für die architektonische Anwendung sind die hängenden Gewölbe von Antoni Gaudís Sagrada Família in Barcelona, der Gateway Arch in St. Louis als invertierter Kettenbogen sowie die Tragseilkurven moderner Hängebrücken wie der Golden Gate Bridge in San Francisco.
Die Kettenlinie ist zwar keine Hyperbel, wird aber durch den Hyperbelkosinus beschrieben, dessen mathematische Definition auf den gleichen Exponentialfunktionen basiert, aus denen sich auch die Gleichung der Hyperbel ableitet. Ein Aspekt des Kettenbogens ist das Verhältnis zwischen seiner Fläche und seiner Länge. Der Flächeninhalt A ist direkt proportional zum Produkt aus dem Formparameter a und der Differenz zwischen der projizierten Bogenlänge und der tatsächlichen Sehne. Zudem lässt sich die Kettenlinie als die Kurve definieren, deren Schwerpunkt bei gegebener Bogenlänge die geringstmögliche potenzielle Energie aufweist.