Berechnungen bei einem Katenoid oder dem Rotationskörper einer Kettenlinie um die x-Achse. Dies im Gegensatz zu der Kettenkuppel, bei welcher die Kettenlinie um die y-Achse rotiert. Gebildet wird diese Form aus der zugrunde liegenden Kettenlinie der Form y = a*cosh(x/a) im Intervall x ∈ [ -b ; b ], welche um die x-Achse rotiert. Da die Kurve die Rotationsachse nicht schneidet, entsteht ein rotationssymmetrischer Hohlkörper mit zwei kreisförmigen Randflächen.
Geben Sie den Formparameter oder Minimalradius a (a>0) und den maximalen Eingabewert b ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
Kreiszahl pi:
Formparameter, Minimalradius a und Höhe haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), Mantelfläche und Oberfläche haben diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter). Das Verhältnis A/V hat diese Einheit -1.
Das Katenoid sieht dem einschaligen Hyperboloid ähnlich, basiert jedoch auf anderen mathematischen Funktionen. Das Hyperboloid wird durch quadratische Gleichungen beschrieben, während das Katenoid aus der Kettenlinie entsteht und daher hyperbolische Funktionen enthält. Das Katenoid ist im Gegensatz zum Hyperboloid eine Minimalfläche, es ist die Fläche mit der kleinstmöglichen Oberfläche zwischen zwei Randkreisen, sofern die Fläche sich frei zwischen diesen Rändern spannen kann und keine zusätzlichen Einschränkungen vorgegeben sind. Ein Zylinder mit einer kleineren Mantelfläche erfüllt diese Eigenschaft hingegen nicht, weil seine Oberfläche in Längsrichtung gerade ist und dadurch insgesamt keine ausgeglichene Krümmung besitzt, wie sie für eine Minimalfläche erforderlich ist.
Daher wird das Katenoid im Membranbau verwendet, wo das Material unter gleichmäßiger Spannung stehen muss, um Falten oder Risse zu vermeiden. Aufgrund dieser besonderen geometrischen Eigenschaften spielt das Katenoid auch in der Differentialgeometrie und der Physik eine Rolle, etwa bei der Untersuchung von Minimalflächen und Gleichgewichtsformen gespannter Membranen. Wenn man beispielsweise zwei Drahtringe in Seifenlauge taucht und auseinanderziehst, bildet die Seifenhaut ein Katenoid.
Das Katenoid sollte nicht mit der Katenoide oder Kettenlinie verwechselt werden, daher ist auch der Begriff Katenoide als Mehrzahl von Katenoid zu vermeiden.