Berechnungen bei einem isogonalen Polygon, oder alternierenden gleichwinkligen Vieleck. Dies ist ein Vieleck mit zwei verschieden langen Kanten, welche sich abwechseln. Jede Kante kommt n mal vor, die Anzahl der Kanten und Ecken ist jeweils 2n. Zwischen zwei Kanten sind immer gleiche Winkel, diese entsprechen den Winkeln des regelmäßigen Polygons. Das einfachste isogonale Polygon ist das Rechteck mit n=2. Mit n=3 ist es ein halbregelmäßiges Sechseck. Das abgestumpfte Quadrat ist ein isogonales Polygon mit n=4, also ein Achteck.
Geben Sie die beiden Kantenlängen sowie die Anzahl der Kantenpaare des Vielecks ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
Kreiszahl pi:
Kantenlängen und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Diese Formel für die Fläche des isogonalen Polygons ist nicht bewiesen. Sie wurde ermittelt, indem das Polygon nicht als eine Fläche, sondern als eine Folge von Kanten betrachtet wurde. Jede Kante besitzt eine bekannte Länge und ist gegenüber der vorherigen um den konstanten Außenwinkel π/n gedreht. Aus diesen Kanten lassen sich die Koordinaten aller Eckpunkte berechnen. Anschließend wird die Gaußsche Polygonflächenformel (auch Shoelace-Formel oder Schnürsenkel-Schema genannt) angewendet, die den Flächeninhalt direkt aus den Eckpunktkoordinaten bestimmt. Durch die regelmäßige Struktur des Polygons vereinfachen sich die dabei entstehenden Summen zu geometrischen Reihen, welche sich geschlossen auswerten lassen. Nach einigen trigonometrischen Umformungen ergibt sich schließlich obige kompakte Formel für die Fläche. Sie wurde anschließend durch unabhängige Berechnungen mit der Gaußschen Polygonflächenformel für verschiedene Werte von a, b und n überprüft.
Die Formel für den Umkreisradius lässt sich direkt aus der Zerlegung des Polygons in zwei überlagerte regelmäßige 2n-Ecke, beziehungsweise aus der expliziten Eckpunktdarstellung herleiten, diese Herleitung ist einfacher als die der Flächenformel.
In der Literatur werden diese Formeln zum Erstellungszeitpunkt nicht in zugänglichen Quellen bestätigt.