Berechnungen bei einem gleichseitigen Hyperbelsegment. Eine gleichseitige Hyperbel hat die Gleichung x²-y²=s mit s größer als Null. Als Kurve gezeichnet entstehen zwei voneinander getrennte Bereiche, einer links und einer rechts der y-Achse, welche zu dieser Achse spiegelsymmetrisch sind. Hier wird nur der positive Bereich betrachtet. Dieser wiederum besteht aus zwei Armen, welche spiegelsymmetrisch zur x-Achse sind. Grund sind die beiden Ergebnisse, wenn man obige Gleichung nach y auflöst, . Mehr zu dieser Kurve, siehe Hyperbelfunktionen.
Geben Sie den Formparameter s (s>0, Einheitshyperbel s=1) und den maximalen Eingabewert a (a>√s) ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
Formparameter s, Eingabewert a und Sehnenlänge haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Die Hyperbelkurve hat ihren Scheitelpunkt an der Stelle (√s;0), bei der Einheitshyperbel ist dies (1;0). Der Formparameter s bestimmt daher nicht nur die Form der Hyperbel, also ihre Krümmung, sondern auch ihre Lage im Koordinatensystem. Für die geometrischen Eigenschaften Fläche und Länge der Sehne ist die Lage zwar irrelevant, aber der Formparameter s bestimmt zusammen mit dem Eingabewert a auch die Breite des Hyperbelsegments, also die Ausdehnung auf der x-Achse.
Die Hyperbel ist eine Art der Kegelschnitte. Kegelschnitte entstehen beim Schnitt eines Doppelkegels mit einer Ebene. Doppelkegel bedeutet hier zwei gleiche gerade Kreiskegel, die sich gerade Spitze an Spitze berühren. Ein Schnitt parallel zur Grundfläche erzeugt einen Kreis. Schneidet die Ebene den Kegel schräg, aber nur einen der beiden Kegel, entsteht eine Ellipse. Je stärker die Ebene geneigt wird, desto länglicher wird diese. Verläuft die Schnittebene genau in derselben Richtung wie die Mantelfläche des Kegels, entsteht als Grenzfall ein Parabelsegment. Wird die Ebene noch stärker geneigt und schneidet beide Kegel, entsteht ein Hyperbelsegment.
Wenn eine solche gleichseitige Hyperbel in einen Kreis hinein gespiegelt wird, der seinen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems hat und zwischen den beiden Hyperbelteilen liegt, dann entsteht eine Lemniskate von Bernoulli.