Hilbert-Kurve berechnen
Berechnungen bei einer Hilbert-Kurve. Die Hilbert-Kurve entsteht nach einer Bildungsvorschrift mit unendlich vielen Iterationen aus einem Polygonzug, ähnlich der Koch-Kurve, aber komplizierter. Für jede Iteration wächst ihre Länge und die Anzahl ihrer Strecken. Eine Linie ist eindimensional, die fertige Hilbert-Kurve ist unendlich lang und ist eine flächenfüllende Kurve, sie ist also zweidimensional und füllt ein Quadrat vollständig aus. Die fertige Hilbert-Kurve ist stetig, aber an keinem Punkt differenzierbar. Die einzelnen Stufen auf dem Weg zur Hilbert-Kurve werden Hilbert-Polygone genannt, obwohl es keine geschlossenen Polygone sind, sondern eindimensionale Polygonzüge. Deren Länge und die Anzahl der einzelnen gleich langen Strecken, aus denen sie sich zusammensetzen, kann hier berechnet werden.
Die einzelnen Schritte werden als Iterationen bezeichnet. Geben Sie die Anzahl der Iterationen, sowie die Seitenlänge des zu füllenden Quadrats an, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Längen haben die gleiche eindimensionale Einheit (beispielsweise Meter). Die Anzahlen sind dimensionslos und eine natürliche Zahl.
Die Hilbert-Kurve entsteht schrittweise durch eine wiederholte Unterteilung eines Quadrats. Zunächst wird das Quadrat in vier gleich große Quadrate geteilt und deren Mittelpunkte werden in einer bestimmten Reihenfolge durch gerade Strecken verbunden. Dadurch entsteht das erste Hilbert-Polygon. Für die nächste Iteration wird jedes dieser vier Teilquadrate erneut in vier kleinere Quadrate geteilt. Die bereits vorhandene Form wird dabei in entsprechend kleinerem Maßstab in die vier Teilquadrate übertragen, wobei einige dieser verkleinerten Kopien gedreht oder gespiegelt werden, damit die einzelnen Abschnitte miteinander verbunden bleiben. Dieser Vorgang wird bei jeder weiteren Iteration wiederholt. Die Zahl der Teilquadrate vervierfacht sich bei jeder Iteration, während die Länge jeder einzelnen Strecke halbiert wird.
Die Hilbert-Kurve wurde 1891 von David Hilbert als eine der ersten flächenfüllenden Kurven entdeckt und später nach ihm benannt. Sie kann verwendet werden, um Punkte in einem Quadrat in eine eindimensionale Reihenfolge zu bringen. Dazu wird jedem Punkt entsprechend seiner Lage entlang der Kurve eine Position zugeordnet. So lassen sich zweidimensionale räumliche Daten in einer eindimensionalen Reihenfolge speichern und verarbeiten, ohne die räumlichen Beziehungen zwischen den Punkten vollständig zu verlieren. Dies kann beispielsweise bei Datenbanken, Bildern, Karten und anderen großen Mengen räumlicher Daten genutzt werden.
Zuletzt aktualisiert am 11.09.2026. Autor: Jürgen Kummer
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Abgerufen am 06.10.2026 von https://rechneronline.de/pi/hilbert-kurve.php
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