Berechnungen bei einem Goldenen Dreieck. Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Länge der Basis und die Länge eines Schenkels im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Es gibt also zwei Goldene Dreiecke. Dies sind das Goldene Dreieck erster Art, wo die Basis kürzer ist als jeder der gleich langen Schenkel. Bei diesem messen die Winkel zwischen der Basis und einem Schenkel 72 Grad und der Winkel gegenüber das Basis hat 36 Grad. Bei dem Goldenen Dreieck zweiter Art ist die Basis längerer ist als jeder der Schenkel. Dort messen die Winkel zwischen der Basis und einem Schenkel 36 Grad und der Winkel gegenüber das Basis hat 108 Grad. Man kann diese beiden auch spitzwinkliges (1. Art) und stumpfwinkliges (2. Art) Goldenes Dreieck nennen. Das Goldene Dreieck zweiter Art wird auch als Goldenes Gnomon bezeichnet.
Wählen Sie, welches der beiden Goldenen Dreiecke berechnet werden sollen, geben Sie eine der beiden Längen ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
1. Art: a = c * φ
2. Art: c = a * φ
hc = √( 4 * a² - c² ) / 4
ha = c * sin(α) = a * sin(γ)
u = 2 * a + c
A = h * c / 2
Längen, Höhen und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Das Goldene Dreieck der zweiten Art wurde bereits von Euklid in den Elementen beschrieben und dessen Konstruktion mit Zirkel und Lineal gezeigt. Auch das Goldene Dreieck der ersten Art ist so konstruierbar.
Ein weiteres Polygon, welches auf dem Goldenen Schnitt basiert, ist das Goldene Rechteck. Von diesem gibt es nur eine Art. Der Goldene Schnitt findet sich auch im Pentagramm, in dreidimensionalen Körpern wie dem Pentagonhexakontaeder und Sternkörpern wie dem Ikosaederstern.
Die Zacken im regelmäßigen Pentagramm sind Goldene Dreiecke der ersten Art. Die Dreiecke, welche entstehen, wenn man aus einem regelmäßigen Fünfeck das innere Pentagramm entfernt, sind Goldene Dreiecke der zweiten Art. Ein regelmäßiges Zehneck lässt sich mit beiden Arten der Goldenen Dreiecke zusammen parkettieren.