Berechnungen bei einem gleichschenkligen Antiprisma. Im Gegensatz zu dem regelmäßigen Antiprisma sind die Seiten beim gleichschenkligen Antiprisma keine gleichseitigen Dreiecke, sondern gleichschenklige Dreiecke. Daher kann das gleichschenklige Antiprisma jede beliebige Höhe haben. Die Basis ist auch hier ein regelmäßigen Vieleck.
Geben Sie die zwei der drei Werte der Kantenlängen und der Höhe, sowie die Anzahl der Ecken einer Grundfläche ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
h = √ b² - a² / (4 * cos²(π/(2n)))
A = n * a² / (2 * tan(π/n)) + (n*a/2) * √ 4*b²-a²
V = [ n * a³ * cot(π/(2n)) * √ 4 * cos²(π/(2n)) - 1 / 12 ] * h / [ √ 1 - sec²(π/(2n)) / 4 * a ]
Kreiszahl pi:
π = 3.141592653589793...
Längen und Höhe haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), die Oberfläche hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter), der Rauminhalt (Volumen) hat diese Einheit hoch 3 (z.B. Kubikmeter). Das Verhältnis A/V hat diese Einheit -1.
Das Volumen des gleichschenkligen Antiprismas berechnet sich mit Hilfe einer Streckung des regelmäßigen Antiprismas in Richtung der Höhe. Hierbei wird das Volumen des regelmäßigen Antiprismas mit Kantenlänge a mit der Höhe des gleichschenkligen Antiprismas multipliziert und durch die Höhe des regelmäßigen Antiprismas geteilt. Multiplikation und Division mit den Längen der Schenkel anstatt mit den Höhen funktioniert übrigens nicht, da diese nicht parallel zu der Streckrichtung sind.
Das wahrscheinliche bekannteste Objekt mit einer ähnlichen Form ist das im Jahr 2015 eröffnete One World Trade Center in New York City. Dieses hat ein Quadrat als Grundfläche, der einem gleichschenkligem Antiprisma ähnliche Teil befindet sich auf einem Sockel in Form eines Quaders. Allerdings ist die obere quadratische Grundfläche (44 Meter Kantenlänge) kleiner als die untere (61 Meter Kantenlänge), daher trifft diese Berechnung auf dieses Gebäude nicht zu. Dies ist natürlich aus statischen Gründen so, denn Gebäude, welche sich nach oben hin verjüngen, sind stabiler als solche, die es nicht tun.
Das Volumen eines derartigen schiefen Antiprismastumpfes läst sich durch das Prinzip von Cavalieri mit der Formel für den allgemeinen Pyramidenstumpf berechnen.